拓扑复习 | 30 可数性公理 知识点+习题

2025-08-31 22:15:51 星期日
反复告诉自己，你只是情绪陷进了死胡同，你的人生没有陷进死胡同。一切都没有那么糟糕的。

本节讨论可数性公理。

习题

  1. (a) 若集合 \(A\) 是空间 \(X\) 中可数个开集的交，则称 \(A\) 是 \(X\) 中的一个 \(G_\delta\) 集。证明在满足第一可数性公理的 \(T_1\) 空间中，每一个单点集是一个 \(G_\delta\) 集。
    (b) 存在一个我们熟悉的空间，它的任何一个单点集都是 \(G_\delta\) 集，但这个空间却不满足第一可数性公理。它是哪个空间呢？
  1. 证明：若 \(X\) 具有可数基 \(\{B_n\}\)，则 \(X\) 的每一个基 \(\mathcal{C}\) 包含 \(X\) 的一个可数基。[提示：对每一对指标 \(n, m\)，只要可能，便选取 \(C_{nm} \in \mathcal{C}\)，使得 \(B_n \subset C_{nm} \subset B_m\)。]

建议如下：只要有序对 \(\langle n,m\rangle\in\Bbb Z_+\times\Bbb Z_+\) 满足 \(B_n\subseteq B_m\) 且存在 \(C\in\mathscr{C}\) 使得 \(B_n\subseteq C\subseteq B_m\)，则令 \(C_{n,m}\) 为该集合 \(C\)（若存在多个满足条件的 \(C\in\mathscr{C}\)，只需任选其一作为 \(C_{n,m}\)）。若不存在此类 \(C\in\mathscr{C}\)，则令 \(C_{n,m}=\varnothing\)。再令 \(\mathscr{C}_0=\{C_{n,m}:\langle n,m\rangle\in\Bbb Z_+\times\Bbb Z_+\}\)。虽然 \(\mathscr{C}_0\) 中可能存在空集，但它显然是 \(\mathscr{C}\) 的可数子集。令 \(\mathscr{C}_1=\{C\in\mathscr{C}_0:C\ne\varnothing\}\)，则 \(\mathscr{C}_1\) 仍是 \(\mathscr{C}\) 的可数子集。需证明 \(\mathscr{C}_1\) 构成该拓扑的基。

为证明此结论，任取 \(x\in X\) 及其任意开邻域 \(U\)，需证存在 \(C\in\mathscr{C}_1\) 使得 \(x\in C\subseteq U\)。由于 \(\mathscr{B}\) 是拓扑基，存在 \(B_m\in\mathscr{B}\) 满足 \(x\in B_m\subseteq U\)。由于 \(\mathscr{C}\) 是拓扑基，存在 \(C\in\mathscr{C}\) 满足 \(x\in C\subseteq B_m\)。再根据 \(\mathscr{B}\) 作为拓扑基的性质，存在 \(B_n\in\mathscr{B}\) 满足 \(x\in B_n\subseteq C\)。你能由此完成证明吗？

  1. 设 \(X\) 有可数基，\(A\) 是 \(X\) 的一个不可数子集。证明 \(A\) 中有不可数个点都是 \(A\) 的极限点。
  1. 证明：每一个紧致度量空间 \(X\) 都有可数基。[提示：设 \(\mathcal{A}_n\) 是由 \(1/n\)-球构成的 \(X\) 的有限覆盖。]
  1. (a) 证明：每一个有可数稠密子集的度量空间都有可数基。
    (b) 证明：每一个可度量的 Lindelöf 空间都有可数基。
  1. 证明：\(\mathbb{R}_l\) 和 \(I^2\) 不可度量化。
  1. 对我们所讲的四个可数性公理，空间 \(S_\Omega\) 满足哪几个？\(\overline{S}_\Omega\) 又如何？
  1. 在一致拓扑下，对我们所讲的四个可数性公理，空间 \(\mathbb{R}^\omega\) 满足哪几个？
  1. 设 \(A\) 是 \(X\) 的一个闭子空间。证明：如果 \(X\) 是 Lindelöf 的，那么 \(A\) 也是 Lindelöf 的。举例说明，\(X\) 有可数稠密子集，\(A\) 却未必有可数稠密子集。
  1. 若 \(X\) 是可数个有可数稠密子集的空间的积空间，则 \(X\) 也有可数稠密子集。
  1. 设 \(f: X \to Y\) 是连续的。证明：如果 \(X\) 是 Lindelöf 的，或者有可数稠密子集，那么 \(f(X)\) 也满足同样的条件。
  1. 设 \(f: X \to Y\) 是一个连续开映射。证明：如果 \(X\) 满足第一或第二可数性公理，那么 \(f(X)\) 也满足同样的公理。
  1. 证明：若 \(X\) 有可数稠密子集，则 \(X\) 中的两两无交的开集的族是可数的。
  1. 证明：若 \(X\) 是 Lindelöf 空间，\(Y\) 是紧致的，则 \(X \times Y\) 是 Lindelöf 的。
  1. 赋予 \(\mathbb{R}^I\) 一致度量，其中 \(I = [0,1]\)。设 \(\mathcal{C}(I,\mathbb{R})\) 是连续函数空间。证明：\(\mathcal{C}(I,\mathbb{R})\) 有可数稠密子集，因此有可数基。[提示：考虑那些连续函数，它们的图形由有限多个线段构成，并且每一个线段的端点是有理数。]
  1. (a) 证明：积空间 \(\mathbb{R}^I\) 有可数稠密子集，其中 \(I = [0,1]\)。
    (b) 证明：如果 \(J\) 的基数大于 \(\mathcal{P}(\mathbb{Z}_+)\)，那么积空间 \(\mathbb{R}^J\) 没有可数稠密子集。[提示：若 \(D\) 在 \(\mathbb{R}^J\) 中稠密，定义 \(f: J \to \mathcal{P}(D)\) 为 \(f(\alpha) = D \cap \pi_\alpha^{-1}((a,b))\)，其中 \((a,b)\) 是 \(\mathbb{R}\) 中的一个固定区间。]

*17. 赋予 \(\mathbb{R}^\omega\) 箱拓扑。设 \(\mathbb{Q}^\infty\) 是由终端为 0 的有理数序列构成的子空间。那么我们所述的四个可数性公理中，这个空间满足哪几个？

posted @ 2025-08-31 22:24  夜秋子  阅读(15)  评论(0)    收藏  举报