拓扑复习 | munkres 26 紧空间 知识点+习题
2025-08-31 21:59:08 星期日
魔法部能不能给我一个时间转换器！能让我一天复习五门课！想一想大三下学期就知道为什么三年级的时候赫敏对着罗恩哈利那么凶巴巴的了.
本节讨论紧性compact.
定义 设 \(\{U_\alpha\}\) 是空间 \(X\) 的子集族，若 \(\bigcup_\alpha U_\alpha = X\)，则称 \(\{U_\alpha\}\) 是 \(X\) 的一个覆盖。若 \(\forall \alpha\)，\(U_\alpha\) 是开集，则称 \(\{U_\alpha\}\) 是一个开覆盖。
定义 (紧空间) 若 \(X\) 的任何开覆盖都有有限子覆盖，则称 \(X\) 是紧的。
例 3 任何一个仅含有限个点的空间 \(X\) 是紧的。
例 4 \((0,1]\) 不是紧的。
证明 考虑开覆盖 \(\{U_n\}_{n=1}^\infty\)，其中 \(U_n = (\frac{1}{n}, 1]\)。显然 \(\bigcup_{n=1}^\infty U_n = (0,1]\)，但该覆盖没有有限子覆盖。
引理 26.1 设 \(Y\) 是 \(X\) 的子空间，则 \(Y\) 是紧的 \(\Leftrightarrow\) 由 \(X\) 的开集组成的 \(Y\) 的每一个覆盖都包含一个覆盖 \(Y\) 的有限子族。
证明
\((\Rightarrow)\) 设 \(Y\) 是紧的，任取 \(X\) 的开集族 \(\{U_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda}\) 满足 \(Y \subseteq \bigcup_\alpha U_\alpha\)。考虑 \(Y\) 的开覆盖 \(\{Y \cap U_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda}\)。由 \(Y\) 的紧性，存在有限子覆盖 \(\{Y \cap U_{\alpha_k}\}_{k=1}^n\)，则 \(\{U_{\alpha_k}\}_{k=1}^n\) 是所求的有限子族。
\((\Leftarrow)\) 任取 \(Y\) 的一个开覆盖 \(\{V_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda}\)。由子空间拓扑，存在 \(X\) 的开集 \(U_\alpha\) 使得 \(V_\alpha = Y \cap U_\alpha\)。则 \(\{U_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda}\) 是 \(X\) 的开集族且覆盖 \(Y\)。由条件，存在有限子族 \(\{U_{\alpha_k}\}_{k=1}^n\) 覆盖 \(Y\)，则 \(\{V_{\alpha_k}\}_{k=1}^n\) 是 \(Y\) 的有限子覆盖。故 \(Y\) 紧。
定理 26.2 紧空间的任意闭子集都是紧的。
证明 设 \(X\) 紧，\(A \subseteq X\) 为闭集。设 \(\{G_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda}\) 为 \(X\) 的开集族且 \(A \subseteq \bigcup_\alpha G_\alpha\)。则
由 \(X\) 的紧性，存在有限子覆盖：
从而 \(A \subseteq G_{\alpha_1} \cup \cdots \cup G_{\alpha_n}\)，故 \(A\) 紧。
定理 26.3 Hausdorff 空间的每一个紧子空间都是闭的。
证明 设 \(X\) 为 Hausdorff 空间，\(Y \subseteq X\) 为紧子集。证 \(Y\) 闭，即证 \(Y^c\) 开。
任取 \(x \in Y^c\)。由 Hausdorff 性，对每个 \(y \in Y\)，存在不相交的开集 \(U_y\) 和 \(V_y\) 使得 \(x \in U_y\)，\(y \in V_y\)。则 \(\{V_y \cap Y\}_{y \in Y}\) 是 \(Y\) 的开覆盖。由 \(Y\) 的紧性，存在有限子覆盖 \(\{V_{y_1} \cap Y, \dots, V_{y_n} \cap Y\}\)。
令 \(U = U_{y_1} \cap \cdots \cap U_{y_n}\)，则 \(U\) 是 \(x\) 的开邻域，且 \(U \cap Y = \emptyset\)（因 \(U \cap V_{y_k} = \emptyset\) 对每个 \(k\)）。故 \(x\) 为内点，\(Y^c\) 开，即 \(Y\) 闭。
example．在有限补拓扑下，\(\mathbb{R}\) 中每一个子集都是紧的．
证明．任取 \(A \subset \bigcup_{i \in I} U_{i}\)，取 \(x_{0} \in A\)，\(x_{0} \in U_{i 0}\)。
对于 \(A \cap U_{i 0} \subset U_{i 0}\)；\(A \backslash U_{i 0} \subset \mathbb{R} \backslash U_{i 0}\)，由有限补定义，\(\mathbb{R} \backslash U_{i 0}\) 有限，
\(\Rightarrow A \backslash U_{i 0}\) 有限，设 \(A \backslash U_{i 0}=\left\{x_{1}, \cdots, x_{n}\right\} \subset A\)，故 \(\forall 1 \leqslant k \leqslant n, x_{k} \in U_{i k}\)。
即 A 为紧集。
定理26．5 紧空间的连续像是紧的。
证明．\(f: X \rightarrow f(X)\)．任取 \(f(X)\) 的开覆盖 \(\left\{U_{\alpha}\right\}_{\alpha \in \Lambda}\)，\(f(X)=\bigcup_{\alpha} U_{\alpha}\)。
\(\Rightarrow\left\{f^{-1}\left(U_{\alpha}\right)\right\}_{\alpha \in \Lambda}\) 为 \(X\) 的开覆盖 \(\Rightarrow \exists\left\{f^{-1}\left(U_{\alpha_{k}}\right)\right\}_{k=1}^{n}\)，\(X=\bigcup_{k=1}^{n} f^{-1}\left(U_{\alpha_{k}}\right)\)。
\(\Rightarrow f(X)=\bigcup_{k=1}^{n} U_{\alpha_{k}} \Rightarrow f(X)\) 是紧的．
定理26．6 \(f: X \rightarrow Y\) 为连续的一一映射，\(X\) 是紧的，\(Y\) 是 Hausdorff 空间． 则 \(f\) 为同胚．
证明．\(f\) 连续，我们只需证明 \(f^{-1}\) 连续．事实上，\(\forall\) 闭集 \(A \subset X\)，由于 \(X\) 紧，由定理26.5，\(f(A)\) 在 \(Y\) 中紧，而 \(Y\) 是 Hausdorff 的 \(\Rightarrow\) 由定理26.3，\(f(A)\) 是闭的 \(\Rightarrow f^{-1}\) 连续．\(f\) 为同胚．
引理1 \(\forall \alpha \in \Lambda\)，\(A_{\alpha} \cap B_{\alpha}=\phi\)，则 \(\left(\bigcup_{\alpha \in \Lambda} A_{\alpha}\right) \cap\left(\bigcap_{\alpha} B_{\alpha}\right)=\phi\)．
证明．记 \(B=\bigcap_{\alpha} B_{\alpha}\)，\(\left(\bigcup_{\alpha} A_{\alpha}\right) \cap B=\bigcup_{\alpha}\left(A_{\alpha} \cap B\right)=\phi\)．
引理4 \(X\) 是 Hausdorff 空间．\(A\), \(B\) 是紧集且 \(B \cap A=\varnothing\)．则存在 \(X\) 中的开集 \(U, V\)，使得 \(A \subset U\), \(B \subset V\) 且 \(U \cap V=\phi\)．
证明．（1）设 \(B=\{q\}\)，\(\forall a \in A\), \(q \in B=\{q\}\)，由于 \(X\) 是 Hausdorff 的，\(\exists G_{a}, H_{a}\) 开集，\(G_{a} \cap H_{a}=\phi\)，\(a \in G_{a}\), \(q \in H_{a}\) \(\Rightarrow A \subset \bigcup_{a \in A} G_{a}\)，\(q \in \bigcap_{a \in A} H_{a}\)，而 \(A\) 为紧集 \(\Rightarrow A \subset \bigcup_{i=1}^{n} G_{a_{i}}\)．
(2). 设 \(B\) 不是单点集，\(\forall b \in B\)。固定 \(b\)，由 1. 知存在 \(X\) 中的开集 \(U_b, V_b\) 使得
因此 \(B \subset \bigcup_{b \in B} V_b\)，由 \(B\) 的紧性得 \(B \subset \bigcup_{i=1}^{n} V_{b_i}\)，对应地 \(A \subset \bigcap_{i=1}^{n} U_{b_i}\)。
习题
- (a) 设 \(\mathcal{T}\) 和 \(\mathcal{T}'\) 是 \(X\) 的两个拓扑，并且 \(\mathcal{T}' \supset \mathcal{T}\)。\(X\) 关于其中哪一个拓扑是紧致的可以推出对另一个拓扑 \(X\) 是紧致的？
(b) 证明：若 \(X\) 关于 \(\mathcal{T}\) 和 \(\mathcal{T}'\) 都是紧致的 Hausdorff 空间，则或者 \(\mathcal{T}\) 和 \(\mathcal{T}'\) 相等，或者它们不能比较。
证明： 如果\((X,\mathcal{T}^{\prime})\)紧，可以推出\((X,\mathcal{T})\)紧。
(b) 考虑恒等映射 \(\text{id}: (X, \mathcal{T}') \to (X, \mathcal{T})\)。\(\forall U \in \mathcal{T}\)，\(\text{id}^{-1}(U) = U \in \mathcal{T} \subset \mathcal{T}'\)，故 \(\text{id}\) 连续且为一一映射。由定理 26.6，\(\text{id}\) 为同胚，即 \(\mathcal{T} = \mathcal{T}'\)。
因此，若 \(\mathcal{T}\) 和 \(\mathcal{T}'\) 可比较，则一定相等；否则不可比较。
- (a) 证明：相对于有限补拓扑而言，\(\mathbb{R}\) 的任何子集都是紧致的。
(b) 由 \(\mathbb{R}\) 的满足 \(\mathbb{R} - A\) 是一个可数集或者是整个 \(\mathbb{R}\) 的所有子集 \(A\) 构成的 \(\mathbb{R}\) 的拓扑，相对于这个拓扑 \([0, 1]\) 是紧致子空间吗？
证明：(a)已经证明过了.
(b) 不是。考虑 \(F_1 = \{\frac{1}{n}\}_{n=1}^{\infty}\), \(F_2 = \{\frac{1}{n}\}_{n=2}^{\infty}\), \(\cdots\), \(F_k = \{\frac{1}{n}\}_{n=k}^{\infty}\)，
则 \(\bigcup_{k=1}^{\infty} F_k \in \mathcal{T} \Rightarrow \bigcup_{k=1}^{\infty} U_k \supset [0, 1]\)。但任取 \(\bigcup_{k=1}^{\infty} U_k\) 的有限子覆盖 \(\bigcup_{i=1}^{K} U_{n_i}\)，
记 \(N = \max_{1 \leq i \leq K} n_i\)，则 \(\frac{1}{N+1} \notin \bigcup_{i=1}^{K} U_{n_i}\)，但 \(\frac{1}{N+1} \in [0, 1]\)。
- 证明：紧致子空间的有限并是紧致的。
证明 设 \(A_1, \cdots, A_n\) 都为紧子空间。对于 \(\bigcup_{k=1}^{n} A_k\) 的任一开覆盖 \(\bigcup_{\alpha} U_\alpha \supset \bigcup_{k=1}^{n} A_k\)，
由于 \(\forall k\)，\(A_k\) 紧，故存在有限子覆盖 \(\bigcup_{i=1}^{m_k} U_{\alpha_i}^{(k)} \supset A_k\)，
因此 \(\bigcup_{k=1}^{n} \bigcup_{i=1}^{m_k} U_{\alpha_i}^{(k)}\) 是 \(\bigcup_{k=1}^{n} A_k\) 的有限子覆盖。
- 证明：度量空间的每一个紧致子空间，对于给定的度量而言是有界的并且是闭的。找一个度量空间，在它里面并不是每一个有界闭子集都是紧致的。
- 设 \(A\) 和 \(B\) 是一个 Hausdorff 空间中的两个无交的紧致子空间。证明存在分别包含 \(A\) 和 \(B\) 的无交的开集 \(U\) 和 \(V\)。
证明：上文的引理4已经证过了.
- 证明：若 \(f: X \rightarrow Y\) 是连续的，其中 \(X\) 是紧致的，\(Y\) 是 Hausdorff 的，则 \(f\) 是闭映射（也就是 \(f\) 将闭集映为闭集）。
证明：任取X中的闭集B, 考察\(f(B)\), 由于定理26.5，\(f(B)\)是紧集，而Y是hausdorff空间，那么\(f(B)\)是闭集，故\(f\) 是闭映射.
- 证明：若 \(Y\) 是紧致的，则投射 \(\pi_1: X \times Y \rightarrow X\) 是闭映射。
证明 对任意闭集 \(B \subset X \times Y\)，需证 \(\pi_1(B)\) 是 \(X\) 中的闭集，即 \((\pi_1(B))^c\) 是开集。
任取 \(x \in (\pi_1(B))^c\)，则对任意 \(y \in Y\)，有 \((x,y) \notin B\)，即 \((x,y) \in B^c\)。由于 \(B^c\) 是开集，存在开集 \(U_x(y)\) 和 \(V_y\) 使得 \((x,y) \in U_x(y) \times V_y \subset B^c\)。
固定 \(x\)，\(\{V_y\}_{y \in Y}\) 是 \(Y\) 的开覆盖。由 \(Y\) 的紧性，存在有限子覆盖 \(Y = \bigcup_{k=1}^n V_{y_k}\)。令 \(U = \bigcap_{k=1}^n U_x(y_k)\)，则 \(U\) 是 \(x\) 的开邻域。
下证 \(U \subset (\pi_1(B))^c\)：对任意 \(x' \in U\) 和任意 \(y \in Y\)，\(y\) 必属于某个 \(V_{y_k}\)，从而 \((x',y) \in U \times V_{y_k} \subset U_x(y_k) \times V_{y_k} \subset B^c\)，故 \((x',y) \notin B\)，即 \(x' \notin \pi_1(B)\)。因此 \(U \subset (\pi_1(B))^c\)，\(\pi_1(B)\) 是闭集。
⭐8. 定理 设 \(f: X \to Y\)，\(Y\) 是紧致的 Hausdorff 空间。则 \(f\) 连续当且仅当 \(f\) 的图形（graph）
\[G_f = \{x \times f(x) \mid x \in X\} \]是 \(X \times Y\) 的闭集。[提示：若 \(G_f\) 是闭的，\(V\) 是 \(f(x_0)\) 的一个邻域，则 \(G_f\) 与 \(X \times (Y - V)\) 的交为闭集。应用习题 7 的结论。]
证明
\((\Rightarrow)\) 若 \(f\) 连续，定义映射 \(F: X \times Y \to Y \times Y\) 为 \(F(x,y) = (f(x), y)\)。由于 \(f\) 连续，\(F\) 也连续。
注意到 \(Y\) 是 Hausdorff 空间，对角线 \(\Delta Y = \{(y,y) \mid y \in Y\}\) 是 \(Y \times Y\) 的闭集。因此 \(F^{-1}(\Delta Y) = \{(x,y) \mid f(x) = y\} = G_f\) 是闭集。
\((\Leftarrow)\) 若 \(G_f\) 是闭集，需证 \(f\) 连续。即对任意闭集 \(V \subset Y\)，需证 \(f^{-1}(V)\) 是闭集。
考虑 \(A = G_f \cap (X \times V)\)，由于 \(G_f\) 和 \(X \times V\) 都是闭集，\(A\) 也是闭集。
注意到 \(A = \{(x, f(x)) \mid x \in X, f(x) \in V\} = \{(x, f(x)) \mid x \in f^{-1}(V)\}\)，因此 \(\pi_1(A) = f^{-1}(V)\)。
由习题 7，\(\pi_1\) 是闭映射，故 \(f^{-1}(V)\) 是闭集。因此 \(f\) 连续。
- 下面是管状引理的推广：
定理 设 \(A\) 和 \(B\) 分别是 \(X\) 和 \(Y\) 的子集，\(N\) 是 \(X \times Y\) 中包含 \(A \times B\) 的一个开集。若 \(A\) 和 \(B\) 都是紧致的，则在 \(X\) 和 \(Y\) 中分别存在开集 \(U\) 和 \(V\)，使得\[A \times B \subset U \times V \subset N. \]
- 设 \(p: X \to Y\) 是一个闭连续满射，对于每一个 \(y\)，\(p^{-1}(\{y\})\) 是一个紧致空间。（这样的映射也称之为完备映射 (perfect map)。）证明：若 \(Y\) 是紧致的，则 \(X\) 是紧致的。[提示：若 \(U\) 是包含 \(p^{-1}(\{y\})\) 的一个开集，那么存在一个 \(y\) 的邻域 \(W\)，使得 \(p^{-1}(W)\) 被 \(U\) 所包含。]
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