拓扑复习 | 25 道路连通 知识点+习题
2025-08-31 11:34:18 星期日
本节讨论道路连通. 真不想开学，更不想考试. 眼下还有紧集和可数性公理没复习，恼火得很。
定义 24.1 (道路连通性) 设 \(x, y \in X\)。从 \(x\) 到 \(y\) 的一条道路为一个连续映射
满足 \(f(a) = x\)，\(f(b) = y\)。如果 \(X\) 中任意两点都可以用道路连接，则称 \(X\) 是道路连通的。
命题1 道路连通空间是连通空间。
证明. 假设 \(X\) 是道路连通的但不是连通的，则存在非空开集 \(A, B \subset X\) 使得 \(X = A \cup B\) 且 \(A \cap B = \emptyset\)。
取 \(x \in A\)，\(y \in B\)。由于 \(X\) 道路连通，存在连续映射 \(f: [a, b] \to X\) 使得 \(f(a) = x \in A\)，\(f(b) = y \in B\)。
由于 \([a, b]\) 是连通的，\(f([a, b])\) 也是连通的。但 \(f([a, b]) \subset A \cup B\)，且 \(f([a, b]) \cap A \neq \emptyset\)，\(f([a, b]) \cap B \neq \emptyset\)，这与 \(f([a, b])\) 的连通性矛盾。故 \(X\) 是连通的。
命题2 设 \(f: X \to Y\) 为连续满射。若 \(X\) 是道路连通的，则 \(Y\) 也是道路连通的。
证明. 任取 \(y_0, y_1 \in Y\)。由于 \(f\) 是满射，存在 \(x_0, x_1 \in X\) 使得 \(f(x_0) = y_0\)，\(f(x_1) = y_1\)。
因为 \(X\) 是道路连通的，存在连续映射 \(h: [0, 1] \to X\) 使得 \(h(0) = x_0\)，\(h(1) = x_1\)。
令 \(g = f \circ h: [0, 1] \to Y\)，则 \(g\) 是连续的，且满足 \(g(0) = f(x_0) = y_0\)，\(g(1) = f(x_1) = y_1\)。故 \(Y\) 是道路连通的。
例 \(\mathbb{R}^{n}\) 中单位球面 \(S^{n-1}\) 定义为
\(S^{n-1}\) 是道路连通的。因为 \(g: \mathbb{R}^{n}\backslash\{0\} \rightarrow S^{n-1}\)，\(x \mapsto \frac{x}{\|x\|}\) 是连续满射，且 \(\mathbb{R}^{n}\backslash\{0\}\) 是道路连通的。
🌟例（拓扑学家的正弦曲线） \(S = \{x \times \sin \frac{1}{x} \mid 0<x \leq 1\}\)，\(\overline{S} = S \cup \{0 \times [-1,1]\}\)。\(\overline{S}\) 连通但不道路连通。
证明 \(S\) 是 \((0,1]\) 的连续像，\(0 \times [-1,1] \cong [-1,1]\) 也连通 \(\Rightarrow \overline{S}\) 连通。设 \(f:[0,1] \rightarrow \overline{S}\) 是连接 \((0,0)\) 与 \(S\) 中一点的道路，则
是闭集，因为 \(0 \times [-1,1]\) 是闭的而 \(f\) 连续 \(\Rightarrow\) 原像也是闭的。从而 \(B\) 有最大元 \(b\)。考虑 \(f: [b, c] \rightarrow \overline{S}\)。\(f\) 将 \(b\) 映到 \(0 \times [-1,1]\) 中，将 \([b, c]\) 中非 \(b\) 的点映到 \(S\) 中（原因：若 \(d>b\)，\(f(d) \in 0 \times [-1,1]\) 与 \(b\) 的最大性矛盾）。
为了方便，记 \([b, c] = [0,1]\)，\(f(t) = (x(t), y(t))\)。由 \(f\) 定义，\(f(0) = (0,0) \Rightarrow x(0) = 0\)，\(t>0\) 时 \(x(t)>0\)，\(y(t) = \sin \frac{1}{x(t)}\)。我们希望证明 \(\exists t_{n} \rightarrow 0\) 使得 \(y(t_{n}) = (-1)^{n}\)，这与 \(f\) 连续矛盾。
\(\forall n\)，取 \(u\) 满足 \(0<u<x(\frac{1}{n})\) 且 \(\sin \frac{1}{u} = (-1)^{n}\)。而 \(x(t)\) 连续，一定 \(\exists t_{n}\) 满足 \(0<t_{n}<\frac{1}{n}\) 且 \(x(t_{n}) = u\)，那么 \(\lim_{n \rightarrow \infty} t_{n} = 0\)，\(y(t_{n}) = (-1)^{n}\)。
习题
1. (a) 证明：空间 \((0,1)\), \((0,1]\) 与 \([0,1]\) 彼此不同胚。[提示：从每一空间中去掉一个点将发生什么情况？]
(c) 证明：若 \(n>1\)，则 \(\mathbb{R}^n\) 与 \(\mathbb{R}\) 不同胚。
证明 (a) \((0,1)\) 去掉一点：
- 去掉端点：\((0,1)\) 仍连通
- 去掉内点 \(c\)：\((0,c) \cup (c,1)\) 有两个分支
\((0,1]\) 去掉一点：
- 去掉端点 \(1\)：\((0,1)\) 连通
- 去掉内点 \(c\)：\((0,c) \cup (c,1]\) 有两个分支
\([0,1]\) 去掉一点：
- 去掉端点 \(0\) 或 \(1\)：\((0,1]\) 或 \([0,1)\) 连通
- 去掉内点 \(c\)：\([0,c) \cup (c,1]\) 有两个分支
故 \((0,1)\) 不与其他区间同胚，而 \([0,1]\) 是紧集，\((0,1]\) 不是，也不同胚。
(c) \(\mathbb{R}^n\) 与 \(\mathbb{R}\) 不同胚：在 \(\mathbb{R}^n\) 中去掉一点，\(\mathbb{R}^n\) 仍道路连通，但 \(\mathbb{R}\) 去掉一点后不再连通。
- \(f: S^1 \to \mathbb{R}\) 连续，证明：存在 \(x \in S^1\) 使得 \(f(x) = f(-x)\)。
证明 考虑 \(g(x) = f(x) - f(-x)\)，\(x \in S^1\)，则 \(g: S^1 \to \mathbb{R}\) 连续。再考虑 \(h: [0, 2\pi] \to S^1\)，\(h(\theta) = e^{i\theta}\)，则 \(g \circ h: [0, 2\pi] \to \mathbb{R}\) 连续。
注意：
令 \(\theta = 0\)，得 \(h(\pi) = -h(0)\)。
① 若 \(h(0) = 0\)，则 \(g(1) = 0\) \(\Rightarrow\) \(f(1) = f(-1)\)；
② 若 \(h(0) \neq 0\)，则 \(h(\pi)\) 与 \(h(0)\) 异号 \(\Rightarrow\) \(\exists \theta_0 \in (0, \pi)\) 使得 \(h(\theta_0) = 0\)，即 \(g(e^{i\theta_0}) = 0\) \(\Rightarrow\) \(f(e^{i\theta_0}) = f(-e^{i\theta_0})\)。
- \(f: X \to X\) 连续，证明：若 \(X = [0,1]\)，则存在 \(x\) 使 \(f(x) = x\)。若 \(X = [0,1)\) 或 \((0,1]\) 呢？
证明 令 \(g(x) = f(x) - x\)。
若 \(f(0) = 0\)，则 \(g(0) = 0\)；若 \(f(1) = 1\)，则 \(g(1) = 0\)。
若 \(g(0), g(1) \neq 0\)，则 \(g(0) = f(0) - 0 > 0\)，\(g(1) = f(1) - 1 < 0\)，故 \(\exists x_0 \in (0,1)\) 使得 \(g(x_0) = 0\) \(\Rightarrow\) \(f(x_0) = x_0\)。
\(X = [0,1)\) 不成立：反例 \(f: [0,1) \to [0,1)\)，\(f(x) = \frac{1}{2}(x+1)\)。若 \(f(x) = x\)，则 \(x = 1 \notin [0,1)\)。
\(X = (0,1]\) 不成立：反例 \(f(x) = \frac{x}{2}\)。若 \(f(x) = x\)，则 \(x = 0 \notin (0,1]\)。
8. (a) 道路连通空间的积空间必定道路连通吗？
(b) 若 \(A \subset X\) 且 \(A\) 是道路连通的，\(\overline{A}\) 必定道路连通吗？
(c) 若 \(f: X \to Y\) 连续，并且 \(X\) 道路连通，\(f(X)\) 必定道路连通吗？
(d) 若 \(\{A_\alpha\}\) 是 \(X\) 的道路连通子空间的族，并且 \(\bigcap A_\alpha \neq \varnothing\)，\(\bigcup A_\alpha\) 必定道路连通吗？
证明 (a) \(\forall x = (x_1, x_2, \dots, x_n, \dots)\)，\(y = (y_1, y_2, \dots, y_n, \dots)\)，
\(\exists g_i: [0,1] \to X_i\) 连续且 \(g_i(0) = x_i\)，\(g_i(1) = y_i\)。
令 \(g(t) = (g_1(t), g_2(t), \dots, g_n(t), \dots)\)，
则 \(g: [0,1] \to \prod X_i\) 是一条道路，且 \(g(0) = x\)，\(g(1) = y\)。
(b)不一定，例如上文中的拓扑学家的正弦曲线.
(c)是的. 上文的命题2已经证明过了.
(d)必定道路连通. 对于任意的\(x, y \in \bigcup A_\alpha\), 存在\(\alpha_1 ,\alpha_2\), \(x \in A_{\alpha_1}\),\(y \in A_{\alpha_2}\), x-z-y便是一条path.
9. 设 \(\mathbb{R}\) 不可数。证明：若 \(A\) 为 \(\mathbb{R}^2\) 的可数子集，那么 \(\mathbb{R}^2 - A\) 是道路连通的。[提示：通过 \(\mathbb{R}^2\) 中一个定点的直线有多少条？]
证明：
设 \(A \subset \mathbb{R}^2\) 为可数子集，需证 \(\mathbb{R}^2 \setminus A\) 道路连通。
任取 \(p, q \in \mathbb{R}^2 \setminus A\)。
- 过 \(p\) 的直线不可数（方向角 \(\theta \in [0, \pi)\) 不可数），而仅可数条与 \(A\) 相交（每 \(a \in A\) 至多确定一条过 \(p\) 的直线），故存在过 \(p\) 的直线 \(L_p\) 满足 \(L_p \cap A = \emptyset\)。
- 同理，存在过 \(q\) 的直线 \(L_q\) 满足 \(L_q \cap A = \emptyset\)。
若 \(L_p\) 与 \(L_q\) 相交于 \(r\)，则 \(r \notin A\)（因 \(L_p, L_q\) 均避 \(A\)），道路 \(p \to r \to q\)（沿 \(L_p\) 与 \(L_q\)）位于 \(\mathbb{R}^2 \setminus A\) 中。
若 \(L_p \parallel L_q\)，则从不可数条直线中另选 \(L_p'\) 与 \(L_q'\)（仍避 \(A\)）使其相交，同理得道路 \(p \to r' \to q\)。
故任意两点可用至多两条直线段连接，且道路避开 \(A\)，即 \(\mathbb{R}^2 \setminus A\) 道路连通。
10. 证明：若 \(U\) 是 \(\mathbb{R}^2\) 的一个连通开子空间，则 \(U\) 道路连通。[提示：对于给定的 \(x_0 \in U\)，证明在 \(U\) 中可以与 \(x_0\) 道路连接的那些点的集合是 \(U\) 中既开又闭的。]
证明：
设 \(U \subseteq \mathbb{R}^2\) 为连通开子集，\(x_0 \in U\)。定义集合：
需证 \(A = U\)（即 \(U\) 道路连通）。
\(A\) 为开集。任取 \(x \in A\)，存在道路 \(\gamma\) 连接 \(x_0\) 与 \(x\)。
由于 \(U\) 开，存在 \(\epsilon > 0\) 使得开球 \(B(x, \epsilon) \subseteq U\)。
对任意 \(y \in B(x, \epsilon)\)，线段 \([x, y] \subset B(x, \epsilon) \subset U\)（因 \(B(x, \epsilon)\) 凸）。
故道路 \(\gamma\) 拼接线段 \(x \to y\) 得从 \(x_0\) 到 \(y\) 的道路，即 \(y \in A\)。
因此 \(B(x, \epsilon) \subseteq A\)，即 \(A\) 开。
\(A\) 在 \(U\) 中闭（即 \(A = \overline{A} \cap U\)）：取任意 \(x \in \overline{A} \cap U\)（即 \(x\) 是 \(A\) 的极限点且属于 \(U\)）。
由于 \(U\) 开，存在开球 \(B(x, \epsilon) \subseteq U\)。
因为 \(x\) 是 \(A\) 的极限点，存在 \(y \in A \cap B(x, \epsilon)\)。
由于 \(y \in A\)，存在道路 \(\gamma\) 从 \(x_0\) 到 \(y\)。
又 \(B(x, \epsilon)\) 凸，线段 \([y, x] \subset B(x, \epsilon) \subset U\)。
将道路 \(\gamma\)（从 \(x_0\) 到 \(y\)）与线段 \(y \to x\) 拼接，得从 \(x_0\) 到 \(x\) 的连续道路，且完全位于 \(U\) 中。
故 \(x \in A\)，即 \(A\) 在 \(U\) 中闭。
综上\(A\) 是 \(U\) 中既开又闭的非空集合（\(x_0 \in A\)），而 \(U\) 连通，故 \(A = U\)，即 \(U\) 道路连通。
11. 若 \(A\) 是 \(X\) 的一个连通子空间，\(\text{Int}A\) 和 \(\text{Bd}A\) 必定连通吗？其逆成立吗？验证你的结论。
解： 不一定。例如两个球并在一起记为A，A确实是连通的，但A的内部不连通. 再考虑二维平面中的一个长条区域（？就像\(0\leq y\leq1, x \in R\)），边界是两条平行的直线，不连通.
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