拓扑复习 | 23 连通空间 习题

2025-08-30 22:28:58 星期六
困得要死，先不上传解答了. 学不完了.

本节讨论连通性.

1. 设 \(\mathcal{T}\) 和 \(\mathcal{T'}\) 是 \(X\) 的两个拓扑。若 \(\mathcal{T'} \subseteq \mathcal{T}\)，试问关于两种拓扑的连通性之间有什么联系？

证明. 若 \(X = U \cup V\)，其中 \(U, V \in \mathcal{T'}\) 且 \(\mathcal{T'} \subseteq \mathcal{T}\)，则 \((X, \mathcal{T})\) 是连通的 \(\Rightarrow\) \((X, \mathcal{T'})\) 是连通的。反之不成立。

2. 设 \(\{A_n\}\) 是 \(X\) 的连通子空间的一个序列，并且对于所有的 \(n\) 有 \(A_n \cap A_{n+1} \neq \varnothing\)。证明 \(\bigcup A_n\) 是连通的。

证明. 设 \(\bigcup_n A_n = U \cup V\)，其中 \(U\) 和 \(V\) 是 \(X\) 中不相交的开集。由于每个 \(A_n\) 是连通的，根据引理 23.2，对每个 \(n\) 有 \(A_n \subset U\) 或 \(A_n \subset V\)。

设 \(m\) 是满足 \(A_k \subset U\) 的最大指标，\(n\) 是满足 \(A_k \subset V\) 的最小指标。那么必有 \(m = 1\) 或 \(n = 1\)（即 \(A_1 \subset U\) 或 \(A_1 \subset V\)）。

假设 \(m = 1\)。则对任意 \(k > 1\)，有 \(A_k \subset V\)，但 \(A_{k-1} \subset U\)，这意味着 \(A_k \cap A_{k-1} = \emptyset\)，与已知条件 \(A_n \cap A_{n+1} \neq \emptyset\) 矛盾！

3. 设 \(\{A_\alpha\}\) 是 \(X\) 的连通子空间的一个族。\(A\) 是 \(X\) 的一个连通子空间。证明：若对于每一个 \(\alpha\) 有 \(A \cap A_\alpha \neq \varnothing\)，则 \(A \cup (\bigcup A_\alpha)\) 是连通的。3. 设 \(\{A_\alpha\}\) 是 \(X\) 的连通子空间的一个族。\(A\) 是 \(X\) 的一个连通子空间。证明：若对于每一个 \(\alpha\) 有 \(A \cap A_\alpha \neq \varnothing\)，则 \(A \cup (\bigcup A_\alpha)\) 是连通的。

证明. 设 \(A \cup (\bigcup_{\alpha} A_{\alpha}) = U \cup V\)，其中 \(U\) 和 \(V\) 是 \(X\) 中不相交的开集。由于 \(A\) 是连通的，根据引理 23.2，有 \(A \subset U\) 或 \(A \subset V\)。不妨设 \(A \subset U\)。

对于每个 \(\alpha\)，由于 \(A_\alpha\) 是连通的，同样有 \(A_\alpha \subset U\) 或 \(A_\alpha \subset V\)。但已知 \(A \cap A_\alpha \neq \emptyset\)，而 \(A \subset U\)，因此若 \(A_\alpha \subset V\)，则 \(A \cap A_\alpha \subset U \cap V = \emptyset\)，矛盾。故必有 \(A_\alpha \subset U\)。

于是 \(A \cup (\bigcup_{\alpha} A_{\alpha}) \subset U\)，这意味着 \(V = \emptyset\)。因此 \(A \cup (\bigcup_{\alpha} A_{\alpha})\) 是连通的。

4. 证明：若 \(X\) 为无限集，则 \(X\) 关于有限补拓扑是连通的。

证明. 假设 \(X\) 在有限补拓扑下不连通，则存在非空开集 \(U\) 和 \(V\) 使得 \(X = U \cup V\) 且 \(U \cap V = \emptyset\)。

由于 \(V\) 是开集，\(X \backslash V = U\) 是有限集（有限补拓扑定义）。同理，\(X \backslash U = V\) 也是有限集。

因此 \(U\) 和 \(V\) 都是有限集，从而 \(X = U \cup V\) 也是有限集，这与 \(X\) 是无限集的假设矛盾。

故 \(X\) 关于有限补拓扑是连通的。

5. 若一个空间的连通子空间只有单点集，则这个空间称为完全不连通 (totally disconnected) 空间。证明：若 \(X\) 具有离散拓扑，则 \(X\) 是完全不连通的。其逆成立吗？

证明.
(1) 对任意 \(x \in X\)，单点集 \(\{x\}\) 是 \(X\) 的连通子空间。

(2) 设 \(A\) 是 \(X\) 的包含至少两个元素的子集。对任意 \(x \in A\)，考虑 \(A\) 的分割 \(A = \{x\} \cup (A \setminus \{x\})\)。由于 \(\{x\}\) 和 \(A \setminus \{x\}\) 都是 \(X\) 的开集（离散拓扑下所有子集都是开集），且不相交，故 \(A\) 不连通。

由 (1)(2) 可知，\(X\) 的连通子空间只有单点集，即 \(X\) 是完全不连通的。

下面考虑逆命题：设 \(X\) 是完全不连通的，即 \(X\) 的连通子空间只有单点集。

若 \(|X| = 1\)，则 \(X\) 显然具有离散拓扑。

若 \(|X| \geq 2\)，对任意 \(a, b \in X\) 且 \(a \neq b\)，考虑子集 \(\{a, b\}\)。由于 \(X\) 是完全不连通的，\(\{a, b\}\) 不连通，故存在 \(X\) 中的开集 \(U, V\) 使得：

\[\{a, b\} = U \cup V, \quad U \cap V = \emptyset \]

且 \(U\) 和 \(V\) 都是 \(\{a, b\}\) 的相对开集。这蕴含着 \(\{a\} = U\) 和 \(\{b\} = V\)（或反之）。因此 \(\{a\}\) 和 \(\{b\}\) 都是 \(X\) 的开集（因为离散拓扑下所有子集都是开集），故 \(X\) 具有离散拓扑。

6. 设 \(A \subset X\)。证明：若 \(C\) 是 \(X\) 的一个连通子空间，并且 \(C\) 与 \(A\) 和 \(X-A\) 都有交，则 \(C\) 与 \(\text{Bd}A\) 也有交。

7. 空间 \(\mathbb{R}_l\) 连通吗？验证你的结论。

8. 判定 \(\mathbb{R}^\omega\) 关于一致拓扑是否连通。

9. 设 \(A\) 是 \(X\) 的一个真子集，\(B\) 是 \(Y\) 的一个真子集。若 \(X\) 和 \(Y\) 都是连通的，证明$$(X \times Y) - (A \times B)$$是连通的。

10. 设 \(\{X_\alpha\}_{\alpha \in J}\) 是连通空间的一个加标族，\(X\) 是积空间

\[X = \prod_{\alpha \in J} X_\alpha. \]

设 \(a = (a_\alpha)\) 是 \(X\) 的一个给定的点。

(a) 对于 \(J\) 的任何一个有限子集 \(K\)，以 \(X_K\) 表示由所有那些点 \(x = (x_\alpha)\) 的集合，其中当 \(\alpha \notin K\) 时有 \(x_{\alpha} = a_{\alpha}\)。证明 \(X_K\) 是连通的。

(b) 所有空间 \(X_K\) 的并 \(Y\) 是连通的。

(c) 证明：\(X\) 等于 \(Y\) 的闭包，从而 \(X\) 是连通的。

11. 设 \(p: X \to Y\) 是一个商映射。证明：若每一个 \(p^{-1}(\{y\})\) 是连通的，并且 \(Y\) 也是连通的，则 \(X\) 是连通的。

12. 设 \(Y \subset X\)，\(X\) 和 \(Y\) 都是连通的。证明：若 \(A\) 和 \(B\) 构成 \(X - Y\) 的一个分割，则 \(Y \cup A\) 和 \(Y \cup B\) 都是连通的。