拓扑复习 | munkres 19 积拓扑

2025-08-30 16:11:58 星期六
噢，现在心情好得很，我想除了宿舍没有单人间，应该也没什么让我烦的了.

以下基本都是手写笔记转latex，然后ai帮忙排个版的

本节讨论19节课后习题，19节主要讨论积拓扑，我们已经在15节讨论过乘积空间的拓扑了，现在我们推广到任意个空间的乘积空间上去.

1. 定理 19.1（箱拓扑与积拓扑的比较 Comparison of the Box and Product Topologies）设 \(X = \prod_{\alpha} X_{\alpha}\)。\(X\) 的箱拓扑以所有形如 \(\prod_{\alpha} U_{\alpha}\) 的集合作为基，其中对每个 \(\alpha\)，\(U_{\alpha}\) 是 \(X_{\alpha}\) 中的开集。
   \(X\) 的积拓扑以所有形如 \(\prod_{\alpha} U_{\alpha}\) 的集合作为基，其中对每个 \(\alpha\)，\(U_{\alpha}\) 是 \(X_{\alpha}\) 中的开集，且除有限多个 \(\alpha\) 外，\(U_{\alpha} = X_{\alpha}\)。

6. 设 \(x_1, x_2, \cdots\) 是积空间 \(\prod X_\alpha\) 的点的一个序列。证明：这个序列收敛到点 \(x\) 当且仅当对于每一个 \(\alpha\)，序列 \(\pi_\alpha(x_1), \pi_\alpha(x_2), \cdots\) 收敛到 \(\pi_\alpha(x)\)。若用箱拓扑代替积拓扑，相应结论还成立吗？

证明： \((\Rightarrow)\) 假设 \(\lim \limits_{n \to \infty} x_n = x\)。固定 \(\alpha\)，对于 \(\pi_\alpha(x)\) 的任意邻域 \(U_\alpha\)，考虑集合 \(U = \prod_\beta U_\beta\)，其中当 \(\beta = \alpha\) 时 \(U_\beta = U_\alpha\)，而当 \(\beta \ne \alpha\) 时 \(U_\beta = X_\beta\)。由于 \(x_n \to x\)，则 \(\exists N\)，使得 \(\forall i > N\) 有 \(x_i \in U\)。那么 \(\pi_\alpha(x_i) \in \pi_\alpha(U) = U_\alpha\) 对所有 \(i > N\) 成立。即对 \(\pi_\alpha(x)\) 的任意邻域 \(U_\alpha\)，\(\exists N\)，使得 \(\forall i > N\) 有 \(\pi_\alpha(x_i) \in U_\alpha\)。故 \(\pi_\alpha(x_n) \to \pi_\alpha(x)\)。

\((\Leftarrow)\) 设 \(x \in \prod_\alpha X_\alpha\)，且对任意 \(\alpha\) 有 \(\pi_\alpha(x_n) \to \pi_\alpha(x)\)。任取 \(x\) 的邻域 \(V\)，则 \(V\) 包含一个形如 \(\prod_\alpha U_\alpha\) 的基元（其中 \(U_\alpha\) 是 \(X_\alpha\) 中的开集，且 \(U_\alpha = X_\alpha\) 对除了有限个 \(\alpha\) 之外的所有指标成立）。对于这有限个满足 \(U_\alpha \ne X_\alpha\) 的 \(\alpha\)，由 \(\pi_\alpha(x_n) \to \pi_\alpha(x)\) 可知，对每个这样的 \(\alpha\)，\(\exists N_\alpha\)，使得 \(\forall i > N_\alpha\) 有 \(\pi_\alpha(x_i) \in U_\alpha\)。取 \(N = \max_\alpha N_\alpha\)（最大值只对这有限个 \(\alpha\) 取），那么 \(\forall i > N\)，对所有的 \(\alpha\) 均有 \(\pi_\alpha(x_i) \in U_\alpha\)，即 \(x_i \in \prod_\alpha U_\alpha \subseteq V\)。故 \(x_n \to x\)。

最后，我们举例说明在箱拓扑（box topology）下结论不成立。取 \(x_n = (\frac{1}{n}, \frac{1}{n}, \frac{1}{n}, \cdots) \in \mathbb{R}^\omega\)。对于每个分量，显然有 \(\frac{1}{n} \to 0\)。但 \(x_n \nrightarrow (0, 0, 0, \cdots)\)。考虑 \((0, 0, 0, \cdots)\) 的一个箱拓扑邻域 \(\prod_{i=1}^\infty (-\frac{1}{i}, \frac{1}{i})\)。对于任何 \(n\)，\(x_n = (\frac{1}{n}, \frac{1}{n}, \cdots)\)，但总存在 \(i > n\) 使得 \(\frac{1}{n} \notin (-\frac{1}{i}, \frac{1}{i})\)（例如取 \(i = n+1\)，则 \(\frac{1}{n} > \frac{1}{n+1}\)），故 \(x_n \notin \prod_{i=1}^\infty (-\frac{1}{i}, \frac{1}{i})\) 对所有的 \(n\) 成立。因此序列 \((x_n)\) 不收敛于 \((0, 0, 0, \cdots)\)。

7. 设 \(\mathbb{R}^\infty\) 是 \(\mathbb{R}^\omega\) 中所有“终端为 0”的序列（即，使得仅有有限多个 \(i\)，\(x_i \neq 0\)）的所有序列 \((x_1, x_2, \dots)\) 的子集。在箱拓扑与积拓扑下，\(\mathbb{R}^\infty\) 在 \(\mathbb{R}^\omega\) 中的闭包是什么？验证你的结论。

\(Pf.\) 为方便, 记 \(A = \mathbb{R}^{\infty}\).

① 在箱拓扑（box topology）下, \(\overline{A} = A\)。我们希望证明：不在 \(A\) 中的元素 \(x\) 都不是 \(A\) 的极限点。

\(\forall x = (x_1, x_2, \cdots, x_n, \cdots) \notin A\), 则有无限个 \(i\), 使得 \(x_i \neq 0\)。对每个 \(n\)，定义 \(U_n\) 如下：

\[U_n = \begin{cases} (-1, 1) & x_n = 0 \\ (\frac{1}{2} x_n, 2 x_n) & x_n > 0 \\ (2 x_n, \frac{1}{2} x_n) & x_n < 0 \end{cases} \]

这样，\(\forall n\), \(x_n \in U_n\)，且 \(U_n\) 为 \(\mathbb{R}\) 中开集。令 \(B = \prod_{n=1}^{\infty} U_n\)，则 \(B\) 为 \(X\) 中的开集（箱拓扑下）。且 \(B \cap A = \emptyset\)。

事实上，由于有无限个 \(x_n \neq 0\)，\(\forall y = (y_n) \in B\)：

• 若 \(x_n > 0\)，则 \(y_n \in (\frac{1}{2} x_n, 2 x_n) \Rightarrow y_n > 0\)
• 若 \(x_n < 0\)，则 \(y_n \in (2 x_n, \frac{1}{2} x_n) \Rightarrow y_n < 0\)

故对于 \(y = (y_n)\) 而言，也有无限项 \(y_n \neq 0\)，也就是说 \(y \notin A \Rightarrow B \cap A = \emptyset \Rightarrow \overline{A} = A\)。

② 积拓扑（product topology）下，断言 \(\overline{A} = \mathbb{R}^{\omega} \triangleq X\)。

(i) \(\overline{A} \subset X\) 是显然的。

(ii) \(\forall x \in X\), \(x = (x_n)_{n \in \mathbb{N}}\)。设 \(B = \prod_{n=1}^{\infty} B_n\) 为 \(x\) 的任意一个邻域（基元素）。由于 \(B\) 为积拓扑中的开集，则只有有限个 \(B_n \neq \mathbb{R}\)，而其他 \(B_n = \mathbb{R}\)。定义 \((z_n)_{n \in \mathbb{N}} \in B\) 如下：

\[z_n = \begin{cases} x_n & B_n \neq \mathbb{R} \\ 0 & B_n = \mathbb{R} \end{cases} \]

由于只有有限个 \(B_n \neq \mathbb{R}\)，故只有有限个 \(z_n \neq 0\)，即 \((z_n) \in A\)。又 \(z_n \in B_n\) 对所有 \(n\) 成立，故 \((z_n) \in B\)。因此 \(A \cap B \neq \emptyset \Rightarrow x \in \overline{A} \Rightarrow X \subset \overline{A}\)。

综上，在积拓扑下 \(\overline{A} = X\)。

8. 给定实数序列 \((a_1, a_2, \dots)\) 和 \((b_1, b_2, \dots)\)，其中对于所有的 \(i\)，\(a_i > 0\)，用

\[h((x_1, x_2, \dots)) = (a_1 x_1 + b_1, a_2 x_2 + b_2, \dots) \]

定义一个函数 \(h \colon \mathbb{R}^\omega \to \mathbb{R}^\omega\)。证明：若赋予 \(\mathbb{R}^\omega\) 积拓扑，则 \(h\) 是 \(\mathbb{R}^\omega\) 的一个自同胚。若赋予 \(\mathbb{R}^\omega\) 箱拓扑，结论会怎样？

9. 证明选择公理等价于以下条件：对于每一由非空集合组成的加标集族 \(\{A_\alpha\}_{\alpha \in J}\)，\(J \neq \varnothing\)，其笛卡儿积

\[\prod_{\alpha \in J} A_\alpha \]

非空。

10. 设 \(A\) 是一个集合，\(\{X_\alpha\}_{\alpha \in J}\) 是空间的一个加标族，\(\{f_\alpha\}_{\alpha \in J}\) 是函数 \(f_\alpha : A \to X_\alpha\) 的一个加标族。

(a) 证明：\(A\) 有唯一的一个使得每一个 \(f_\alpha\) 都连续的最粗拓扑 \(\mathcal{T}\)。

(b) 设

\[S_\beta = \{ f_\beta^{-1}(U_\beta) \mid U_\beta \text{ 在 } X_\beta \text{ 中是开的 } \}, \]

并且 \(S = \bigcup S_\beta\)。证明：\(S\) 是 \(\mathcal{T}\) 的一个子基。

(c) 证明：映射 \(g : Y \to A\) 关于 \(\mathcal{T}\) 连续当且仅当每一个映射 \(f_\alpha \circ g\) 都连续。

(d) 用

\[f(a) = (f_\alpha(a))_{\alpha \in J} \]

定义映射 \(f : A \to \prod X_\alpha\)。设 \(Z\) 表示积空间 \(\prod X_\alpha\) 的子空间 \(f(A)\)。证明 \(\mathcal{T}\) 中每一个元素在 \(f\) 下的像是 \(Z\) 中的一个开集。