拓扑复习 | munkres 18 连续函数 习题

2025-08-29 22:08:36 星期五 七夕
心情在今晚坏透了.

本节讨论18节习题.

2. 设 \(f:X\rightarrow Y\) 连续, \(x\) 是 \(X\) 的子集 \(A\) 的一个极限点, 那么 \(f(x)\) 一定是 \(f(A)\) 的极限点吗?

证明：不一定. 考虑常值函数 \(f:X\to Y\)，其定义为对任意 \(x\in X\) 和某个 \(y_{0}\in Y\)，有 \(f(x)=y_{0}\)。定理 18.2 (a) 部分已证明该函数是连续的。然而，显然对于 \(X\) 的任意子集 \(A\)，有 \(f(A)=\{y_{0}\}\)。因此，即使 \(x\) 是 \(A\) 的极限点，\(f(x)\) 的任意邻域与 \(f(A)\) 的交集也不可能包含除 \(f(x)=y_{0}\) 以外的点，因为 \(y_{0}\) 是 \(f(A)\) 中唯一的点！故 \(f(x)\) 不是 \(f(A)\) 的极限点。

3. 设 \(X\) 和 \(X'\) 分别表示具有拓扑 \(\mathcal{T}\) 和 \(\mathcal{T}'\) 的同一个集合，\(i:X'\to X\) 为恒等函数。
(a) 证明：\(i\) 连续 \(\Longleftrightarrow\) \(\mathcal{T}'\) 细于 \(\mathcal{T}\)。
(b) 证明：\(i\) 是同胚 \(\Longleftrightarrow\) \(\mathcal{T}'=\mathcal{T}\)。

5. 证明：\(\mathbb{R}\) 的子空间 \((a,b)\) 与 \((0,1)\) 同胚；\(\mathbb{R}\) 的子空间 \([a,b]\) 与 \([0,1]\) 同胚。

6. 找出一个只在一点连续的函数 \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\)。

7. (a) 假定 \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) “右连续”，即对于每一个 \(a\in\mathbb{R}\)，

\[\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a), \]

证明：将 \(f\) 看成从 \(\mathbb{R}_l\) 到 \(\mathbb{R}\) 的一个函数时它是连续的。

(b) 如果把函数 \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) 看成从 \(\mathbb{R}\) 到 \(\mathbb{R}_l\) 的映射时，什么样的 \(f\) 是连续的？如果看成从 \(\mathbb{R}_l\) 到 \(\mathbb{R}_l\) 的映射呢？我们将在第 3 章中讨论这个问题。

证明 (a):设 \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) 右连续，即对任意 \(a \in \mathbb{R}\)，有

\[\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a). \]

考虑 \(f\) 作为从 \(\mathbb{R}_l\)（具有下极限拓扑）到 \(\mathbb{R}\)（具有标准拓扑）的映射。需证 \(f\) 连续。

取 \(\mathbb{R}\) 中任意开集 \(V\)，需证 \(f^{-1}(V)\) 是 \(\mathbb{R}_l\) 中的开集（即 \(f^{-1}(V)\) 可表示为左闭右开区间的并）。

设 \(x_0 \in f^{-1}(V)\)，则 \(f(x_0) \in V\)。由于 \(V\) 是标准拓扑中的开集，存在 \(\epsilon > 0\) 使得

\[(f(x_0) - \epsilon, f(x_0) + \epsilon) \subseteq V. \]

由 \(f\) 在 \(x_0\) 处右连续，存在 \(\delta > 0\)，使得对任意 \(x \in [x_0, x_0 + \delta)\)，有

\[|f(x) - f(x_0)| < \epsilon, \]

即

\[f(x) \in (f(x_0) - \epsilon, f(x_0) + \epsilon) \subseteq V. \]

因此，

\[[x_0, x_0 + \delta) \subseteq f^{-1}(V). \]

这说明 \(x_0\) 是 \(f^{-1}(V)\) 的一个内点（在 \(\mathbb{R}_l\) 拓扑下）。由于 \(x_0\) 是任意的，\(f^{-1}(V)\) 是 \(\mathbb{R}_l\) 中的开集（因为它包含其中每点的一个左闭右开邻域）。

故 \(f: \mathbb{R}_l \to \mathbb{R}\) 连续。

9. 设 \(\{A_\alpha\}\) 是 \(X\) 的一个子集族，\(X = \bigcup_\alpha A_\alpha\)。设 \(f: X \to Y\)，对于每一个 \(\alpha\)，\(f|_{A_\alpha}\) 连续。
   (a) 若 \(\{A_\alpha\}\) 为有限族，并且每一个 \(A_\alpha\) 都是闭集，则 \(f\) 连续。
   (b) 找出一个可数族 \(\{A_\alpha\}\)，其中每一个 \(A_\alpha\) 都是闭集，但 \(f\) 不连续的例子。
   (c) 一个加标集族 \(\{A_\alpha\}\) 称为局部有限的 (locally finite)，如果 \(X\) 的每一个点 \(x\) 都有一个邻域，仅与有限多个 \(A_\alpha\) 相交。证明：若族 \(\{A_\alpha\}\) 是局部有限的，并且每一个 \(A_\alpha\) 都是闭集，则 \(f\) 连续。

证明：

目标：对任意 \(x \in X\) 和 \(f(x)\) 的任意开邻域 \(V\)，存在 \(x\) 的开邻域 \(U\)（即 \(U \in \mathcal{T}_X\)，\(x \in U\)），使得 \(f(U) \subset V\)。

由于族 \(\{A_\alpha\}\) 是局部有限的，对任意 \(x \in X\)，存在开邻域 \(U'\)（\(U'\) 在 \(X\) 中开，且 \(x \in U'\)），使得 \(U'\) 仅与有限个 \(A_\alpha\) 相交。记这些集合为 \(A_1, A_2, \dots, A_n\)。令 \(A = \bigcup_{k=1}^n A_k\)。注意：由于 \(U'\) 只与这些 \(A_k\) 相交，因此 \(U' \subset A\)（若不然，\(U'\) 会与其他 \(A_\alpha\) 有交集，矛盾）。

考虑限制映射 \(f|_A: A \to Y\)。由于每个 \(f|_{A_k}\) 连续，且 \(A\) 是有限个闭集 \(A_k\) 的并（每个 \(A_k\) 在 \(A\) 中闭），由已知结论（类似Munkres定理18.2的推论）可知 \(f|_A\) 连续。

现在，对 \(f(x)\) 的任意开邻域 \(V\)，由于 \(f|_A\) 连续，存在 \(x\) 在子空间 \(A\) 中的开邻域 \(U_A\)（即 \(U_A \subset A\)，且 \(U_A\) 在 \(A\) 中开），使得 \((f|_A)(U_A) \subset V\)。由子空间拓扑的定义，存在 \(X\) 中的开集 \(U_X\)（即 \(U_X \in \mathcal{T}_X\)），使得 \(U_A = A \cap U_X\)。

令 \(U = U_X \cap U'\)。由于 \(U_X\) 和 \(U'\) 都是 \(X\) 中的开集，\(U\) 也是 \(X\) 中的开集。且 \(x \in U_X\)（因为 \(x \in U_A = A \cap U_X\)）和 \(x \in U'\)，故 \(x \in U\)。

最后证明 \(f(U) \subset V\)：对任意 \(z \in f(U)\)，存在 \(y \in U = U_X \cap U'\)，使得 \(z = f(y)\)。由于 \(y \in U' \subset A\)，且 \(y \in U_X\)，因此 \(y \in A \cap U_X = U_A\)。于是 \(z = f(y) = (f|_A)(y) \in (f|_A)(U_A) \subset V\)。故 \(f(U) \subset V\)。

综上，对任意 \(x\) 和 \(f(x)\) 的任意开邻域 \(V\)，存在 \(x\) 的开邻域 \(U\) 使得 \(f(U) \subset V\)，因此 \(f\) 连续。

10. 设 \(f\colon A\to B\) 和 \(g\colon C\to D\) 都是连续函数。证明：由公式

\[(f\times g)(a\times c)=f(a)\times g(c) \]

所定义的映射 \(f\times g\colon A\times C\to B\times D\) 是连续的。

证明：\(\forall(x\times y)\in A\times C.\forall f(x)\times g(y)\)的开邻域V.由于V在\(B\times D\)为开的.则\(\exists\)开集 \(U_{B}: U_{A}\) \(U_{B} \times U_{B} = V\). 考虑 \(U_{A} = f^{-1}(U_{B})\) \(U_{C} = g^{-1}(U_{B})\). \(U_{A}, U_{C}\) 为开集.
令 \(U = U_{A} \times U_{B}\). 则 \(\forall (z, w) \in U\).\(f(z) \in U_{B}\) \(g(w) \in U_{B}\). 即\((f \times g)(z \times w) = f(z) \times g(w) \in V\)
即 \((f \times g)(U) \subset V\). 故 \(f \times g\) 连续.

11. 设 \(F\colon X\times Y\to Z\)。我们把 \(F\) 分别关于每一个变量连续 (continuous in each variable separately) 定义为：对于 \(Y\) 中每一个 \(y_0\)，用 \(h(x)=F(x\times y_0)\) 定义的映射 \(h\colon X\to Z\) 连续，并且对于 \(X\) 中每一个 \(x_0\)，用 \(k(y)=F(x_0\times y)\) 所定义的映射 \(k\colon Y\to Z\) 连续。证明：若 \(F\) 连续，则 \(F\) 分别关于每一个变量连续。

\(Pf.\) 首先证明 \(h:X\to Z\) 连续, \(\forall x\in X\). \(\forall h(x)\) 形成的域 \(V\), 由于 \(F\) 连续, 则存在 \(U_1\),\(U_2\subset X\times Y\) 且 \((x,y_0)\in U_1\times U_2\) \(F(U_1\times U_2)\subset V\) \(\Rightarrow x\in U_1\),\(y_0\in U_2\) 则 \(\forall z\in U_1\), \((z,y_0)\in U_1\times U_2\) \(h(z)=F(z,y_0)\subset V\) 所以\(h(U_1)\subset V\) 综上 \(h\) 连续, \(k:Y\to Z\) 同理.

12. 设 \(F\colon \mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) 定义为：

\[F(x\times y)= \begin{cases} xy/(x^2+y^2) & \text{如果 } x\times y\neq 0\times 0, \\ 0 & \text{如果 } x\times y=0\times 0. \end{cases} \]

(a) 证明：\(F\) 分别关于每一个变量连续。
(b) 计算出由 \(g(x)=F(x\times x)\) 所定义的函数 \(g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\)。
(c) 证明 \(F\) 不连续。

13. 设 \(A\subset X\)，\(f\colon A\to Y\) 连续，\(Y\) 是一个 Hausdorff 空间。证明：若 \(f\) 能扩充为一个连续函数 \(g\colon\overline{A}\to Y\)，则 \(g\) 由 \(f\) 唯一决定。