拓扑复习 | munkres 17闭集与极限点 习题

2025-08-29 10:28:00 星期五

定义 17.1 闭集定义为开集的补集。

定理 17.2 设 \(Y \subseteq X\)，\(A \subseteq Y\)。则 \(A\) 是 \(Y\) 的闭集 \(\Leftrightarrow\) 存在 \(X\) 中的闭集 \(V\) 使得 \(A = V \cap Y\)。

证明
\((\Rightarrow)\) 若 \(A\) 在 \(Y\) 中闭，则 \(A^c\) 在 \(Y\) 中开，即存在 \(X\) 中开集 \(U\) 使得 \(A^c = U \cap Y\)。于是 \(A = (X \setminus U) \cap Y\)，而 \(X \setminus U\) 是 \(X\) 中的闭集。
\((\Leftarrow)\) 若 \(A = V \cap Y\)，其中 \(V\) 是 \(X\) 中的闭集，则 \(Y \setminus A = (X \setminus V) \cap Y\)。由于 \(X \setminus V\) 是 \(X\) 中的开集，故 \(Y \setminus A\) 是 \(Y\) 中的开集，从而 \(A\) 是 \(Y\) 中的闭集。

定义 17.2 设 \(A \subseteq X\)。

• \(A\) 的内部是包含于A的最大开集

\[IntA = \bigcup_{\begin{subarray}{c} U_\alpha \subset A \\ U_\alpha \text{ 是开集} \end{subarray}} U_\alpha \]

• \(A\) 的闭包是包含A的最小闭集

\[\overline{A} = \bigcap_{\begin{subarray}{c} F_\alpha \subset A \\ F_\alpha \text{ 是闭集} \end{subarray}} F_\alpha \]

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17节课后题.

1. 设 \(\mathcal{C}\) 是集合 \(X\) 的子集的一个族。假定 \(\varnothing\) 与 \(X\) 在 \(\mathcal{C}\) 中，并且 \(\mathcal{C}\) 中元素的有限并及任意交也在 \(\mathcal{C}\) 中。证明集族 \(\mathcal{F}=\{X-C\mid C\in\mathcal{C}\}\) 是 \(X\) 的一个拓扑。

证明：直接验证拓扑的定义就好，没什么难的.

2. 证明：若 \(A\) 是 \(Y\) 的闭集并且 \(Y\) 是 \(X\) 的闭集，则 \(A\) 是 \(X\) 的闭集。

证明：利用课本的定理17.2：定理 17.2 设\(Y\)是\(X\) 的一个子空间. 集合 \(A\) 是\(Y\) 的一个闭集当且仅当\(A\) 是\(X\) 中的一个闭集与 \(Y\) 的交. 利用该定理，\(A=B\cap Y\), 其中\(B\)是X的闭集，而Y自己也是闭集，由于闭集的任意交还是闭集，所以A也是X的闭集.

3. 证明：若 \(A\) 是 \(X\) 的闭集并且 \(B\) 是 \(Y\) 的闭集，则 \(A\times B\) 是 \(X\times Y\) 的闭集。

证明：因为\((A \times B)^c=(\pi_1^{-1}(A))^c \cap (\pi_2^{-1}(B))^c\), 由于\(\pi_i\)都是连续映射，故\(\pi_1^{-1}(A)\)\(\pi_2^{-1}(B)\)都是闭集，故\(A \times B\)是闭集. 打完了才注意到多打了一些废话...

4. 证明：若 \(U\) 是 \(X\) 的开集并且 \(A\) 是 \(X\) 的闭集，则 \(U-A\) 是 \(X\) 的开集，并且 \(A-U\) 是 \(X\) 的闭集。

证明：\(U-A=U \cap A^c\), \(A-U=A \cap U^c\).

6. 设 \(A\), \(B\) 和 \(A_\alpha\) 都是空间 \(X\) 的子集。证明：
(a) 若 \(A \subset B\)，则 \(\overline{A} \subset \overline{B}\)。
(b) \(\overline{A \cup B} = \overline{A} \cup \overline{B}\)。
(c) \(\overline{\bigcup A_\alpha} \supset \bigcup \overline{A_\alpha}\)。举出等号不成立的例子。

证明： 1. \(A \subset B \subset \bar{B}\), 而\(\bar{A}\)是包含A的最小闭集，故有\(\overline{A} \subset \overline{B}\).

2. 一方面，\(A \cup B \subset \overline{A} \cup \overline{B}\), 利用第四题可知\(\overline{A \cup B} \subset \overline{A} \cup \overline{B}\). 另一方面，对于任意的\(x \in \overline{A} \cup \overline{B}\), 那么$x \in \overline{A} $ 或者\(x \in \overline{B}\)， 设 $x \in \overline{A} \(， 那么x的任意邻域都与A相交，自然的也与\)A \cup B$ 相交，于是\(x \in \overline{A \cup B}\). 综上\(\overline{A \cup B} = \overline{A} \cup \overline{B}\).

3. 证明方法和2是一样的. 例子如下：
   在 \(\mathbb{R}\) 的通常拓扑中，定义 \(A_n = \left( \frac{1}{n+1}, \frac{1}{n} \right)\)，\(n \in \mathbb{N}^*\)。

• \(\bigcup_{n=1}^\infty A_n = (0, 1)\)，故 \(\overline{\bigcup A_n} = [0, 1]\)。
• \(\overline{A_n} = \left[ \frac{1}{n+1}, \frac{1}{n} \right]\)，故 \(\bigcup \overline{A_n} = (0, 1]\)。

显然 \(0 \in \overline{\bigcup A_n}\) 但 \(0 \notin \bigcup \overline{A_n}\)，因此等号不成立。

7. 评述以下对于 \(\bigcup \overline{A_\alpha} \subset \bigcup \overline{A_\alpha}\) 的证明：若 \(\{A_\alpha\}\) 是 \(X\) 中的集合的一个族，\(x \in \bigcup \overline{A_\alpha}\)，则 \(x\) 的任意邻域 \(U\) 与 \(\bigcup \overline{A_\alpha}\) 相交，因此 \(U\) 必与某一个 \(A_\alpha\) 相交，所以 \(x\) 必定属于某一个 \(A_\alpha\) 的闭包。从而 \(x \in \bigcup \overline{A_\alpha}\)。

评述：证明错误，x属于某个集合的闭包的等价条件是x的任意邻域都要与该集合相交. 上面的论述并不能保证所有邻域都与该\(A_\alpha\) 相交！

8. 设 \(A\), \(B\) 和 \(A_\alpha\) 都是空间 \(X\) 的子集。判断下面哪些等号成立。如果等号不成立，判断哪一种包含关系（\(\supset\) 或 \(\subset\)）成立。
(a) \(\overline{A \cap B} = \overline{A} \cap \overline{B}\)。
(b) \(\overline{\bigcap A_\alpha} = \bigcap \overline{A_\alpha}\)。
(c) \(\overline{A - B} = \overline{A} - \overline{B}\)。

证明： (a) \(\overline{A \cap B} = \overline{A} \cap \overline{B}\)等号不成立。 包含关系 \(\overline{A \cap B} \subset \overline{A} \cap \overline{B}\)。 反例 取 \(X = \mathbb{R}\)（通常拓扑），\(A = (0,1)\)，\(B = (1,2)\)。 \(A \cap B = \emptyset\)，故 \(\overline{A \cap B} = \emptyset\)。 \(\overline{A} = [0,1]\)，\(\overline{B} = [1,2]\)，故 \(\overline{A} \cap \overline{B} = \{1\}\)。
显然 \(\emptyset \ne \{1\}\)。

(b) \(\overline{\bigcap A_\alpha} = \bigcap \overline{A_\alpha}\)等号不成立。
包含关系 \(\overline{\bigcap A_\alpha} \subset \bigcap \overline{A_\alpha}\)。
反例： 取 \(X = \mathbb{R}\)，\(A_n = (0, \frac{1}{n})\)（\(n \in \mathbb{N}^*\)）。 \(\bigcap_{n=1}^\infty A_n = \emptyset\)，故 \(\overline{\bigcap A_n} = \emptyset\)。 \(\overline{A_n} = [0, \frac{1}{n}]\)，故 \(\bigcap \overline{A_n} = \{0\}\)。 显然 \(\emptyset \ne \{0\}\)。

(c) \(\overline{A - B} = \overline{A} - \overline{B}\)等号不成立。 一般而言有\(\overline{A - B} \supset \overline{A} - \overline{B}\)。 反例：取 \(X = \mathbb{R}\)，\(A = [0,2]\)，\(B = (1,2)\)。 \(A - B = [0,1]\)，故 \(\overline{A - B} = [0,1]\)。 \(\overline{A} = [0,2]\)，\(\overline{B} = [1,2]\)，故 \(\overline{A} - \overline{B} = [0,1)\)。

9. 设 \(A \subset X\) 并且 \(B \subset Y\)。证明：在空间 \(X \times Y\) 中 \(\overline{A \times B} = \overline{A} \times \overline{B}\)。

证明：正反包含，证明很容易. 证明：

1. 由 (A \subset \overline{A}), (B \subset \overline{B})，有 (A \times B \subset \overline{A} \times \overline{B})，且 (\overline{A} \times \overline{B}) 是闭集，故

\[ \overline{A \times B} \subset \overline{A} \times \overline{B}. \]

2. 对任意 ((x,y) \in \overline{A} \times \overline{B})，则 (x \in \overline{A}), (y \in \overline{B})。
   对 ((x,y)) 的任意开邻域 (U \times V)（其中 (U) 为 (x) 的开邻域，(V) 为 (y) 的开邻域）：
   • (U \cap A \ne \emptyset)（因 (x \in \overline{A}))，
   • (V \cap B \ne \emptyset)（因 (y \in \overline{B}))，
     故存在 (a \in U \cap A), (b \in V \cap B)，使得 ((a,b) \in (U \times V) \cap (A \times B))，
     即 ((x,y) \in \overline{A \times B})。因此

\[ \overline{A} \times \overline{B} \subset \overline{A \times B}. \]

综上，(\overline{A \times B} = \overline{A} \times \overline{B})。

11. 证明：两个 Hausdorff 空间的积是 Hausdorff 的。

证明：直接验证定义就好. 不要忘记定义.

12. 证明：Hausdorff 空间的子空间是 Hausdorff 的。

证明：验证定义.

13. 证明：\(X\) 是一个 Hausdorff 空间当且仅当其对角线 (diagonal) \(\Delta = \{x \times x \mid x \in X\}\) 是 \(X \times X\) 中的一个闭集。

证明：如果\(X\) 是一个 Hausdorff 空间，那么考虑\(\Delta^c\), 对于任意的\((x,y) \in \Delta^c\), \(x \neq y\), 由于hausdorff性质，存在不相交的开集\(U, V\), \(x \in U, y\in V\), 而且有\(U \times V \subset \Delta^c\), 实际上，任取\((z,w) \in U \times V\), 由于\(U,V\)不交，所以\(z \neq w\), 故\((z,w) \in \Delta^c\).

另一方面，若对角线集是闭集，那么其补集是乘积空间中的开集，那么对于任意的\((x,y) \in \Delta^c\), 存在开集\(U \times V \subset \Delta^c\), 使得\((x,y) \in U \times V \subset \Delta^c\), 那么\(U \cap V =\varnothing\), 这是hausdorff空间的定义.

14. 在 \(\mathbb{R}\) 的有限补拓扑空间中，序列 \(x_n = \frac{1}{n}\) 收敛到哪一点或哪些点？

15. 证明 \(T_1\) 公理等价于：\(X\) 中的每两个不同的点各自有一个邻域不包含另一点。

16. 考虑在第 13 节习题 7 中所给的 \(\mathbb{R}\) 的 5 个拓扑。
(a) 对于每一个拓扑，确定集合 \(K = \{\frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{Z}_+\}\) 的闭包。
(b) 其中的哪些拓扑满足 Hausdorff 公理，哪些满足 \(T_1\) 公理？

17. 考虑 \(\mathbb{R}\) 的下限拓扑及由第 13 节习题 8 中的基 \(\mathcal{C}\) 所给出的拓扑。对于上述两种拓扑确定区间 \(A = (0, \sqrt{2})\) 及 \(B = (\sqrt{2}, 3)\) 的闭包。