拓扑复习 | munkres 15 X×Y的积拓扑 16子空间拓扑 习题

2025-08-29 09:52:37 星期五

本节讨论15 X×Y的积拓扑 16子空间拓扑后面的部分习题.

4. 映射 \(f: X \rightarrow Y\) 称为一个开映射（open map），如果对于 \(X\) 的每一个开集 \(U\)，集合 \(f(U)\) 是 \(Y\) 中的一个开集．证明 \(\pi_{1}: X \times Y \rightarrow X\) 及 \(\pi_{2}: X \times Y \rightarrow Y\) 都是开映射．

证明：直接验证开映射定义就行了. 证明很容易，但是结论是重要的.

6. 证明可数族

\[\{(a, b) \times (c, d) \mid a < b,\ c < d,\ \text{其中 } a, b, c, d \text{ 都是有理数}\} \]

是 \(\mathbb{R}^{2}\) 的一个基．

证明：需要定理：定理 15.1 若 \(\mathscr{B}\)是 \(X\) 的拓扑的一个基，\(\mathscr{C}\)是\(Y\) 的拓扑的一个基，则族

\[\mathscr{D}=\{B\times C\mid B\in\mathscr{B}\text{并且}C\in\mathscr{C}\} \]

是 \(X\times Y\) 的拓扑的一个基.
利用这个定理，我们只需要证明 $$ {(a, b) \mid a < b,\ \text{其中 } a, b, c, d \text{ 都是有理数}} $$
是R的拓扑基就可以了. 而这一点已经在上一篇笔记里面证明过了.