拓扑复习 | munkres 12 拓扑空间 & 13 拓扑基 知识点+习题

2025-08-28 18:40:00 星期四

12 拓扑空间

定义 12.1 (拓扑) \(X\) 上的一个拓扑 \(\mathcal{T}\) 是 \(X\) 的某些子集构成的集合，满足：

  1. \(\emptyset \in \mathcal{T}\)，\(X \in \mathcal{T}\)；
  2. 对任意并封闭：若 \(\{U_\alpha\} \subseteq \mathcal{T}\)，则 \(\bigcup_\alpha U_\alpha \in \mathcal{T}\)；
  3. 对有限交封闭：若 \(U_1, \dots, U_n \in \mathcal{T}\)，则 \(\bigcap_{i=1}^n U_i \in \mathcal{T}\)。
    拓扑 \(\mathcal{T}\) 中的元素称为开集。

例 12.1 (有限补拓扑、可数补拓扑)

  • 有限补拓扑：\(\mathcal{T}_f = \{ U \subseteq X \mid U^c \text{ 为有限集或 } U = \emptyset \}\)；
  • 可数补拓扑：\(\mathcal{T}_c = \{ U \subseteq X \mid U^c \text{ 为可数集或 } U = \emptyset \}\)。

定义 12.2 (可比) 设 \(X\) 上有两个拓扑 \(\mathcal{T}_1\) 和 \(\mathcal{T}_2\)。若 \(\mathcal{T}_1 \supset \mathcal{T}_2\)，则称 \(\mathcal{T}_1\) 细于 \(\mathcal{T}_2\)。若 \(\mathcal{T}_1 \supset \mathcal{T}_2\) 或 \(\mathcal{T}_2 \supset \mathcal{T}_1\)，则称 \(\mathcal{T}_1\) 与 \(\mathcal{T}_2\) 可比较。

13 拓扑基

定义 13.1 (拓扑基) \(X\) 的一个子集族 \(\mathcal{B}\) 称为拓扑基，若满足：

  1. \(\mathcal{B} \neq \emptyset\)，且 \(\forall x \in X\)，\(\exists B \in \mathcal{B}\) 使得 \(x \in B\)；
  2. 若 \(x \in B_1 \cap B_2\)（其中 \(B_1, B_2 \in \mathcal{B}\)），则 \(\exists B_3 \in \mathcal{B}\) 使得 \(x \in B_3 \subseteq B_1 \cap B_2\)。

定义 13.2 (\(\mathbb{R}\) 上的几种拓扑基)

  • 标准拓扑基：\(\mathcal{B} = \{ (a, b) \mid a < b \}\)；
  • 下限拓扑基（\(\mathbb{R}_l\)）：\(\mathcal{B}' = \{ [a, b) \mid a < b \}\)；
  • \(K\)-拓扑基（\(\mathbb{R}_K\)）：\(\mathcal{B}'' = \{ (a, b)或(a, b) \setminus K \mid a < b \}\)，其中 \(K = \{ \frac{1}{n} \}_{n=1}^\infty\)。

例 13.1 (\(\mathbb{R}_l\) 与 \(\mathbb{R}_K\) 不可比较)

  1. \(\mathbb{R}_K \not\subset \mathbb{R}_l\)：对 \([a, b) \in \mathcal{B}'\)，不存在 \(U \in \mathcal{B}''\) 使得 \(a \in U \subseteq [a, b)\)；
  2. \(\mathbb{R}_l \not\subset \mathbb{R}_K\)：考虑 \((-1, 1) \setminus K \in \mathcal{B}''\)（包含 \(0\)），但不存在 \([a, b) \in \mathcal{B}'\) 使得 \(0 \in [a, b) \subseteq (-1, 1) \setminus K\)，因为 \(K = \{ \frac{1}{n} \}_{n=1}^\infty\)，\(\forall n > 0\)，\(\exists N > n\) 使得 \(\frac{1}{N} \in [a, b)\)，但 \(\frac{1}{N} \notin (-1, 1) \setminus K\)。

13节课后题

1. 设\(X\)是一个拓扑空间，\(A\)是\(X\)的一个子集. 假定对于每一个\(x\in A\),存在包含\(x\)的一个开集\(U\),使得\(U\subset A.\) 证明 \(A\) 是\(X\) 中的一个开集.

证明：
\(A=\bigcup_{x \in A}U_x\) 任意个开集的并集还是开集，证毕.

3. \(\mathcal{T}_{\infty}=\left\{U\mid X-U\text{ 或为无限集，或为空集，或为 }X\right\}\)是\(X\)上的一个拓扑吗？

证明：
不一定. 考虑任意个开集的并集的补集，\((\bigcup_{x}U_x)^c=\bigcap_x U_x^c\), 假如每一个\(U_x\)都不是空集和全集，任意个无限集的交集可能是有限的. 下面举个小例子：
设\(X=\mathbb{R}\).设\(A=\{1,2,3,\ldots\}.\) 设\(B=\{1,\frac12,\frac13,\ldots\}.\) 设\(U_A=\mathbb{R}-A.X-U_A=A\) 是无限集，所以\(U_A\in\mathcal{T}_\infty.\) 设\(U_B=\mathbb{R}-B.X-U_B=B\) 是无限集，所以\(U_B\in\mathcal{T}_\infty.\) 考虑它们的并集\(U_A\cup U_B=\mathbb{R}-(A\cap B).A\cap B=\{1\}\) 是一个有限集，而不是无限集、空集或\(X\).

4. (a) 设{\(\mathcal{T}_\alpha\)}是\(X\) 的拓扑的一个族. 证明\(\cap\mathcal{T}_\alpha\)是\(X\) 上的一个拓扑. \(\cup\mathcal{T}_\alpha\)是\(X\) 上的一个拓扑吗？
(b) 设{\(\mathcal{T}_\alpha\)}是\(X\) 的拓扑的一个族. 证明 \(X\) 上存在包含所有\(\mathcal{T}_\alpha\)的唯一一个最小的拓扑，也存在包含于所有\(\mathcal{T}_\alpha\)的唯一一个最大的拓扑.
(c) 设\(X=\{a,b,c\}\),令
\(\mathcal{T} _1= \left \{ \varnothing , X, \{ a\} , \{ a, b\} \right \}\) 和 \(\mathcal{T} _2= \left \{ \varnothing , X, \{ a\} , \{ b, c\} \right \}\),
求出包含着\(\mathcal{T}_1\) 和\(\mathcal{T}_2\) 的最小拓扑，以及包含于\(\mathcal{T}_1\) 和\(\mathcal{T}_2\) 的最大拓扑.

证明：

  1. 对于\(\cap \mathcal{T}_\alpha\), 空集全集都在内；任取一列{\(U_\beta\)} \(\subset \cap \mathcal{T}_\alpha\), 那么\(\cup U_{\beta} \in \tau_\alpha\), 于是\(\cup U_{\beta} \in \cap\tau_\alpha\). 有限交也封闭，我不想码字了.
    对于第二种而言，不成立，看反例：设 \(X=\{a,b,c\}\) 是一个包含三个元素的集合。
    考虑 \(X\) 上的两个拓扑：

\(\mathcal{T}_1\)： \(\mathcal{T}_1 = \{\emptyset, X, \{a\}\}\)
\(\mathcal{T}_2\)： \(\mathcal{T}_2 = \{\emptyset, X, \{b\}\}\)

现在我们来考虑它们的并集 \(\mathcal{T}_1 \cup \mathcal{T}_2\)：

\(\mathcal{T}_1 \cup \mathcal{T}_2 = \{\emptyset, X, \{a\}\} \cup \{\emptyset, X, \{b\}\} = \{\emptyset, X, \{a\}, \{b\}\}\)
考虑 \(\mathcal{T}_1 \cup \mathcal{T}_2\) 中的两个开集 \(\{a\}\) 和 \(\{b\}\)。它们的并集是 \(\{a\} \cup \{b\} = \{a,b\}\)。

然而，\(\{a,b\}\) 不在 \(\mathcal{T}_1 \cup \mathcal{T}_2\) 中。因此，这个并集不满足拓扑的公理。

  1. 包含于\(\mathcal{T}_1\) 和\(\mathcal{T}_2\) 的最大拓扑是\(\cap\mathcal{T}_\alpha\)，我们只需要证明唯一性，事实上，如果另一个拓扑也包含于每一个\(\mathcal{T}_\alpha\)，那么自然的，该拓扑包含于\(\cap\mathcal{T}_\alpha\).

对于包含所有\(\mathcal{T}_\alpha\)的最小拓扑，\(\mathcal{T} = \bigcap \{\mathcal{T}' : \mathcal{T}' \text{ 是 } X \text{ 上的拓扑，且对每个 } \alpha, \mathcal{T}_\alpha \subseteq \mathcal{T}'\}\)

  1. 最小拓扑：\(\mathcal{T}\)： \(\mathcal{T}_1 = \{\emptyset, X, \{a\}, \{ a, b\}, \{ b, c\}, \{b\}\}\). 包含于两个拓扑的最大拓扑是\(\mathcal{T} = \{\emptyset, X, \{a\}\}\)

8. (a) 应用引理 13.2 证明可数族
\(\mathscr{B}=\{(a, b) \mid a<b, \quad a \text{ 和 } b \text{ 都是有理数 } \}\)
为生成 \(\mathbb{R}\) 的标准拓扑的一个基．
备注： 引理 13.2 设\(X\)是一个拓扑空间. \(\mathcal{C}\)是\(X\)的开集的一个族，它满足对于\(X\)的每一个开集\(U\)及每一个\(x\in U\),存在\(\mathcal{C}\)的一个元素\(C\),使得\(x\in C\subset U\). 那么\(\mathcal{C}\)就是\(X\)上这个拓扑的一个基.
(b) 证明集族
\(\mathcal{C}=\{[a, b) \mid a<b, \quad a \text { 和 } b \text { 都是有理数 }\}\)
为 R 的某一个拓扑的基，并且所生成的拓扑与下限拓扑不同．

证明：

  1. 对于 \(\mathbb{R}\) 的任意开集 \(U\) 及任意 \(x \in U\)，由于 \(U\) 是开集，存在开区间 \((c, d)\)（其中 \(c, d \in \mathbb{R}\)）使得 \(x \in (c, d) \subset U\)。
    因为有理数在实数中稠密，存在有理数 \(a, b\) 满足： c < a < x < b < d.
    于是有 \(x \in (a, b) \subset (c, d) \subset U\)，且 \((a, b) \in \mathscr{B}\)（因为 \(a, b \in \mathbb{Q}\)）。
    因此，满足引理 13.2 的条件。

  2. 证明\(\mathcal{C}\)是拓扑基是容易的，不写了，我们简单说明一下\(\mathcal{C}\)和下限拓扑不一样，实际上很明显的，\(\mathcal{C}\)要粗一些，例如考虑集合 \(U = [\sqrt{2}, 2)\)证明 \(U \notin \mathcal{T}\):
    假设 \(U \in \mathcal{T}\)，则存在 \(\mathcal{C}\) 中一族集合 \(\{[a_i, b_i)\}_{i \in I}\)（其中 \(a_i, b_i \in \mathbb{Q}\)）使得:

\[U = \bigcup_{i \in I} [a_i, b_i). \]

特别地，\(\sqrt{2} \in U\)，所以存在某个 \(i_0\) 使得 \(\sqrt{2} \in [a_{i_0}, b_{i_0})\)。
但 \(a_{i_0} \in \mathbb{Q}\)，且 \(a_{i_0} \leq \sqrt{2} < b_{i_0}\)。
由于 \(a_{i_0}\) 是有理数且 \(a_{i_0} \leq \sqrt{2}\)，必有 \(a_{i_0} < \sqrt{2}\)（因为 \(\sqrt{2}\) 无理）。
于是存在有理数 \(r\) 满足 \(a_{i_0} < r < \sqrt{2}\)（有理数稠密）。
则 \(r \in [a_{i_0}, b_{i_0}) \subseteq U\)，但 \(r < \sqrt{2}\)，所以 \(r \notin [\sqrt{2}, 2) = U\)，矛盾。
因此 \(U \notin \mathcal{T}\)，故 \(\mathcal{T} \neq \mathcal{T}_{\ell}\)。

posted @ 2025-08-28 21:18  夜秋子  阅读(14)  评论(0)    收藏  举报