Chapter11 11.3 von Neumann entropy

2025-03-09 19:02:54 星期日

本节简单介绍 von Neumann 熵，只罗列定义和定理，没时间写证明了，毕竟再过几天就要讲讨论班了...

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定义 1 对于密度矩阵 \(\rho\)，其 von Neumann 熵定义为：

\[S(\rho) = -\text{tr}(\rho \log_2 \rho) \]

如果考虑密度矩阵的谱分解，可以发现 von Neumann 熵即该密度矩阵的特征值的香农熵。

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定义 2（量子相对熵） 设 \(\rho, \sigma\) 都是密度算子，\(\rho\) 相对于 \(\sigma\) 的相对熵定义为：

\[S(\rho || \sigma) := \text{tr}(\rho \log_2 \rho) - \text{tr}(\rho \log_2 \sigma) \]

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性质 1 相对熵非负，等于 0 当且仅当两个密度算子相等。

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性质 2 设 \(\rho\) 是 \(d\) 维的密度矩阵，那么其 von Neumann 熵有界，即：

\[0 \le S(\rho) \le \log_2 d \]

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性质 3 设 \(\{ p_i, i = 1, \dots, N \}\) 为概率分布，\(\{ \rho_i, i = 1, \dots, N \}\) 是一组同维度的密度矩阵，并且设各 \(\rho_i\) 的支集（非零本征值对应的本征向量张成的空间）是相互正交的，则有：

\[S\left( \sum_{i=1}^{N} p_i \rho_i \right) = H\left( \{ p_i \} \right) + \sum_{i=1}^{N} p_i S(\rho_i) \]

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性质 4（联合熵定理） 设 \(\{ p_i, i = 1, \dots, N \}\) 为概率分布，\(\{ |e_i^A\rangle, i = 1, \dots, N \}\) 是系统 \(A\) 的希尔伯特空间 \(\mathcal{H}_A\) 的一组标准正交基，\(\{ \rho_i^B, i = 1, \dots, N \}\) 是另一系统 \(B\) 的一组密度矩阵，则有：

\[S\left( \sum_{i=1}^{N} p_i |e_i^A\rangle\langle e_i^A| \otimes \rho_i^B \right) = H\left( \{ p_i \} \right) + \sum_{i=1}^{N} p_i S(\rho_i^B) \]

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性质 5（张量积的熵） 设 \(\rho^A, \rho^B\) 分别是系统 \(A, B\) 的密度矩阵，则：

\[S(\rho^A \otimes \rho^B) = S(\rho^A) + S(\rho^B) \]

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性质 6 酉演化不改变熵：

\[S(U \rho U^{\dagger}) = S(\rho) \]

其中 \(U\) 为酉矩阵。

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当我们对量子系统进行测量时，熵会如何变化？

这里需要分别讨论：

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1. 结果丢失的投影测量会导致熵增

首先，我们需要回顾什么是投影测量，以及什么是结果丢失的投影测量。

投影测量的定义如下：

设厄米矩阵 \(M = \sum_{m} m P_{m}\)，其中 \(P_{m}\) 是到本征值 \(m\) 对应的本征空间的正交投影算符。对密度矩阵 \(\rho\) 进行关于 \(M\) 的测量，得到结果 \(m\) 的概率为：

\[p_{m} = \operatorname{Tr}(P_{m} \rho) \]

测量后，量子态坍缩为：

\[\rho_{m} = \frac{P_{m} \rho P_{m}}{p_{m}} \]

如果测量结果丢失了，则系统的状态可以描述为：

\[\rho^{\prime} = \sum_{m} p_{m} \rho_{m} = \sum_{m} P_{m} \rho P_{m} \]

此态的熵不会低于原始态 \(\rho\) 的熵：

\[S\left(\rho^{\prime}\right) \geqslant S(\rho) \]

不等式取等号当且仅当 \(\rho^{\prime} = \rho\)。

2 广义测量可以导致熵减

广义测量公理

在广义测量中，测量算子由一组算符 \(\{M_m\}\) 描述，满足完备性方程：

\[\sum_m M_m^\dagger M_m = I \]

其中 \(I\) 是单位算符。

• 对密度矩阵 \(\rho\) 进行测量，得到结果 \(m\) 的概率为：

  \[p_m = \operatorname{Tr}(M_m^\dagger M_m \rho) \]

• 测量后，量子态坍缩为：

  \[\rho_m = \frac{M_m \rho M_m^\dagger}{p_m} \]

• 如果测量结果未知，则系统的状态为所有可能结果的统计平均：

  \[\rho' = \sum_m p_m \rho_m \]

广义测量可以导致熵减

与投影测量不同，广义测量可能导致系统的熵减少。以下是一个具体的例子：

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例子：量子比特的广义测量

考虑一个量子比特，其密度矩阵为：

\[\rho = \lambda |0\rangle\langle0| + (1-\lambda) |1\rangle\langle1| \]

其中 \(\lambda \in [0, 1]\)。

构造两个测量算子：

\[M_1 = |0\rangle\langle0|, \quad M_2 = |0\rangle\langle1| \]

• 测量结果分析：

  1. 得到结果 \(m=1\) 的概率为：

     \[p_1 = \lambda \]

     测量后量子态坍缩为：

     \[\rho_1 = |0\rangle\langle0| \]

  2. 得到结果 \(m=2\) 的概率为：

     \[p_2 = 1 - \lambda \]

     测量后量子态坍缩为：

     \[\rho_2 = |0\rangle\langle0| \]

• 测量后的状态：
  如果测量结果未知，系统的状态为：

  \[\rho' = p_1 \rho_1 + p_2 \rho_2 = |0\rangle\langle0| \]

• 熵的变化：

  • 测量前的熵为：
    \[S(\rho) = H(\{\lambda, 1-\lambda\}) = -\lambda \log_2 \lambda - (1-\lambda) \log_2 (1-\lambda) \]

  • 测量后的熵为：
    \[S(\rho') = 0 \]
    因为 \(\rho' = |0\rangle\langle0|\) 是一个纯态，其熵为 0。

• 结论：
  当 \(\lambda \neq 0\) 且 \(\lambda \neq 1\) 时，测量后的熵 \(S(\rho')\) 小于测量前的熵 \(S(\rho)\)，即：

  \[S(\rho') < S(\rho) \]

  这表明广义测量可以导致熵减。

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下面考虑复合系统的 von Neumann 熵。复合系统AB上的密度算子\(\rho^{AB}\)的熵为

\[S(A,B)=S(\rho^{AB})=-tr (\rho^{AB} \log_2\rho^{AB}) \]

若\(\rho^A\)表示系统A的约化密度算子，B同理，那么我们还可以定义量子条件熵：

\[S(\rho^A|\rho^B)=S(\rho^{AB})-S(\rho^B) \]

量子互信息

\[S(\rho^A:\rho^B)=S(\rho^A)+S(\rho^B)-S(\rho^{AB}) \]

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性质 7 联合熵的次可加性

\[S(A,B)\le S(A)+S(B) \]

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性质 8 量子熵的凹性
设\(\{p_i,i=1,...,N\}\)为概率分布，\(\{\rho_i,i=1,...,N\}\)为维数相同的密度矩阵，则有

\[S\left(\sum_{i=1}^Np_i\rho_i\right)\geqslant\sum_{i=1}^Np_iS\left(\rho_i\right) \]

等号成立当且仅当对于所有 \(p_i>0\) 的\(i\), \(\rho_i\)都相等。

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性质9 冯·诺依曼熵的强次可加性(Strong subadditivity)
对于由三个系统\(A,B,C\)复合而成的系统\(ABC\)上的密度矩阵\(\rho^ABC\),有如下不等式成立:

\[S\left(\rho^A\right)+S\left(\rho^B\right)\leqslant S\left(\rho^{AC}\right)+S\left(\rho^{BC}\right) \]

其中\(\rho^A,\rho^{AC}\)等都是\(\rho^{ABC}\)的约化密度矩阵。此即强次可加性不等式。

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下面给出von Neumann 熵的强次可加性的应用

应用1 更多的条件进一步较少熵

对于三体复合系统\(ABC\)上的密度矩阵\(\rho^{ABC}\),有

\[S(\rho^A|\rho^{BC})\leqslant S(\rho^A|\rho^B) \]

其中各密度矩阵都是\(\rho^{ABC}\)的约化密度矩阵。

应用2丢弃量子系统不会增加互信息
对于三体复合系统ABC上的密度矩阵\(ρ^{ABC}\)，有

\[S(ρ^{A}:ρ^{BC})≤S(ρ^{A}:ρ^{BC}) \]

其中各密度矩阵都是\(ρ^{ABC}\)的约化密度矩阵。