一道很有趣的拓扑题（和类似的题）

时间比较晚了，先把题目写出来吧, 详细过程有时间再补吧！

题目

设\([a,b]\)上的连续函数全体为\(X=C[a,b]\), 其上的多项式函数全体为\(A=P[a,b]\), 求\(A\)的边界\(\partial A ？\)

解答

闭包为\(X\), 用Weierstrass定理即可； 内部为空集；边界为\(X\). 事实上，若内部不是空集，那么存在\(r>0\), 有\(B(f(x),r)\subset A\), 但是我们取\(g(x)\notin A=P[a,b]\), \(g(x)\in X=C[a,b]\), 考察\(f+\dfrac{1}{n}g\), 当\(n\)充分大的时候,\(f+\dfrac{1}{n}g \in B(f(x),r)\subset A\), 但\(f+\dfrac{1}{n}g\)并不是多项式函数，矛盾，这说明内部只能是空集.

结果很有意思，一个集合的边界可以比它本身还要大！

最后

希望21岁的第一天开开心心的，愿今年是顺顺利利的一年。

补充

最后来补充一道类似的习题
求\(C_{c}^{\infty}(R)\)在\(L^{\infty}(R)\)中的边界.

答案依旧是空集，思路一模一样，换换集合记号就行了.

生日

已经是21岁的小秋同学啦，过去的20年里遇到了很多人，是小秋的幸运呀，当然也有很多回忆一次叹一次的经历与人，我把这些都留在了日记里，让日记本替我收着这些故事与照片吧，留给未来的自己一份保存着时光的礼物。最后许个愿望，希望今年一路顺利吧！