冲激函数的性质

冲激函数（狄拉克δ函数）具有一些独特的性质。

筛选特性（Sifting Property）

冲激函数的筛选特性是指它与任何函数 f(t)相乘后在整个实数域上的积分等于该函数在冲激函数非零点（即 t=0）的值。数学表达式为：

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t)\delta (t-a)dt=f(a)$$

如果 f(t) 在 t=a 处连续，则该性质成立。

加权特性（Weighting Property）

冲激函数可以被加权，如果信号f(t)是在$t=t_0$处连续的普通函数，则：

$$f(t)\delta (t-t_0)=f(t_0)\delta (t-t_0)$$

这意味着冲激函数的加权特性允许我们通过乘以一个常数来调整其“强度”。

奇偶性（Odd and Even Property）

冲激函数本身是一个奇函数，这意味着：

$$\delta (-t)=-\delta (t)$$

然而，这个性质在实际应用中较少使用，因为冲激函数通常不以传统意义上的奇函数或偶函数来处理。

尺度变换（Scaling Property）

冲激函数的尺度变换性质涉及到时间尺度的变化。如果将冲激函数的时间变量 t 替换为 at（其中 a 是一个非零常数），则冲激函数的“宽度”会按 |a| 的倒数变化，以保持其积分不变。数学表达式为：

$$\delta (at)=\frac{1}{|a|}\delta (t)$$

与阶跃信号的关系（Relationship with Step Function）

冲激函数与阶跃函数（Heaviside step function，记作 u(t)）有密切的关系。阶跃函数定义为：

$$u(t)=\{\begin{array}{ll}0& \text{if }t<0\\ 1& \text{if }t\ge 0\end{array}$$

冲激函数可以看作是阶跃函数的导数，即：

$$\delta (t)=\frac{d}{dt}u(t)$$

这意味着冲激函数在 t=0 处有一个无限大的“峰值”，而阶跃函数在 t=0处从0跳变到1。

这些性质使得冲激函数成为信号处理和系统分析中的强大工具，尤其是在处理线性时不变系统和卷积运算时。

冲激函数的卷积

含有冲激函数的卷积是一个重要的概念，因为它可以简化许多信号处理和系统分析的问题。卷积是两个函数 f(t) 和 g(t) 的一种数学运算，定义为：

$$(f\ast g)(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(\tau )g(t-\tau )d\tau$$

当其中一个函数是冲激函数 $\delta (t)$ 时，卷积的计算会变得非常简单。这是因为冲激函数的筛选性质。具体来说，如果 $g(t)=\delta (t)$ ，那么卷积变为：

$$(f\ast \delta )(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(\tau )\delta (t-\tau )d\tau =f(t)$$

这表明任何函数与冲激函数的卷积就是该函数本身。这个性质在信号处理中非常有用，因为冲激函数可以看作是一个“单位”信号，它对系统的影响是直接的，没有改变。

如果冲激函数被移动到 $t_0$ 时刻，即 $g(t)=\delta (t-t_0)$ ，那么卷积变为：

$$(f\ast \delta (t-t_0))(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(\tau )\delta (t-\tau -t_0)d\tau =f(t-t_0)$$

这表明任何函数与移动的冲激函数的卷积是该函数的移动版本。这个性质在分析系统的时移特性时非常有用。

总结来说，含有冲激函数的卷积利用了冲激函数的筛选性质，可以简化许多信号处理和系统分析的问题。