[冲激信号]展缩特性的推导

[冲激信号]展缩特性的推导

冲激信号定义

冲激信号,被戏称“看不见”的信号,在非零处的值小到看不着,而在零处的值却大到看不着,但是它却真实存在(具有一定的能量)。一种定义方式如下:

\[\begin{cases} A\delta(t-t_0) = 0\ , \ t \not = t_0\\ A \delta(t-t_0) \to +\infty \ ,\ t = t_0\\ \int_{-\infty}^{\infty} A\delta(t-t_0) dt = A \end{cases} \]

冲激信号,更像是一种“归类”。由泛函数定义的冲激信号为

\[\int_{-\infty}^{\infty} A\delta(t-t_0)f(t) dt = Af(t_0) \]

冲激信号是能将任意连续信号 \(f(t)\) 映射为一个确定数值的一类信号,也就是说只要满足上式的映射信号,就是一个冲激信号。

展缩特性

泛函数的定义方式有利于我们的数学推导。

设存在一个冲激信号的形式为 \(\delta(at+b)\),其中 \(a \not = 0\)。我们分别讨论 \(a\) 的正负的情况。

  1. \(a > 0\) 时,写出积分形式,并作变量替换 \(m=at+b\), 则有

\[\begin{aligned}& \quad \int_{-\infty}^{\infty} \delta(at+b)f(t) dt \\& = {\int_{-\infty}^{\infty}} \delta(m) f(\frac{m-b}{a}) \frac{dm}{a}\\&= \frac{1}{a} f(-\frac{b}{a})\end{aligned} \]

上式的结果与冲激信号 \(\frac{1}{a}\delta(t+\frac{b}{a})\) 相同,即

\[\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{a}\delta(t+\frac{b}{a})f(t) dt = \frac{1}{a}f(-\frac{b}{a}) \]

按照广义函数相等的准则,认为这两种信号的形式是等价的,即

\[\delta(at+b) = \frac{1}{a}\delta(t+\frac{b}{a}), a > 0 \]

  1. \(a < 0\) 时,与上一情况唯一的不同点在于变量替换后积分区间的变换(多了个负号)

    \[\begin{aligned} & \quad \int_{-\infty}^{\infty} \delta(at+b)f(t) dt \\ & = \int_{+\infty}^{-\infty} \delta(m) f(\frac{m-b}{a}) \frac{dm}{a}\\ & = -\int_{-\infty}^{\infty} \delta(m) f(\frac{m-b}{a}) \frac{dm}{a}\\ &= -\frac{1}{a} f(-\frac{b}{a}) \end{aligned} \]

最终有

\[\delta(at+b) = -\frac{1}{a}\delta(t+\frac{b}{a}), a < 0 \]

综上,即有

\[\delta(at+b) = \frac{1}{|a|}\delta(t+\frac{b}{a}) \]


冲激偶信号的证明 也是类似的思路,首先是冲激偶信号泛函数定义为

\[\int_{-\infty}^{\infty} A\delta'(t-t_0)f(t) dt = -Af'(t_0) \]

设某一个冲激偶信号的形式为 \(\delta'(at+b)\),其中 \(a \not = 0\),则有:

  1. \(a > 0\) 时,

    \[\begin{aligned} & \quad \int_{-\infty}^{\infty} \delta'(at+b)f(t) dt \\ & = {\int_{-\infty}^{\infty}} \delta'(m) f(\frac{m-b}{a}) \frac{dm}{a}\\ &= -\frac{1}{a} \left[ \frac{d f(\frac{m-b}{a})}{dm}\right]_{m=0} \\ &= -\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} f'(\frac{-b}{a}) \end{aligned} \]

    与冲激偶信号 \(\frac{1}{a^2}\delta’(t+\frac{b}{a})\) 相同,即

    \[\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{a^2}\delta'(t+\frac{b}{a})f(t) dt = -\frac{1}{a^2}f(-\frac{b}{a}) \]

    根据广义函数等价原则,两者相等,即

    \[\delta'(at+b) = \frac{1}{a^2} \delta'(t+\frac{b}{a})\ , \ a > 0 \]

  2. \(a < 0\) 时,同样的流程(注意积分区间的变换)

    \[\begin{aligned} & \quad \int_{-\infty}^{\infty} \delta'(at+b)f(t) dt \\ & = {\int_{+\infty}^{-\infty}} \delta'(m) f(\frac{m-b}{a}) \frac{dm}{a}\\ & = -{\int_{-\infty}^{\infty}} \delta'(m) f(\frac{m-b}{a}) \frac{dm}{a}\\ &= \frac{1}{a} \left[ \frac{d f(\frac{m-b}{a})}{dm}\right]_{m=0} \\ &= \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} f'(\frac{-b}{a})\\ \end{aligned} \]

    与冲激偶信号 \(-\frac{1}{a^2}\delta'(t+\frac{b}{a})\) 相同,即

    \[\int_{-\infty}^{\infty} -\frac{1}{a^2}\delta'(t+\frac{b}{a})f(t) dt = \frac{1}{a^2}f(-\frac{b}{a}) \]

    故两者等价,即

    \[\delta'(at+b) = -\frac{1}{a^2} \delta'(t+\frac{b}{a})\ , \ a < 0 \]

综上,有

\[\delta'(at+b) = \frac{1}{a|a|}\delta'(t+\frac{b}{a}) \]

posted @ 2022-03-22 10:40  Wreng  阅读(324)  评论(0编辑  收藏  举报