傅里叶变换的条件与性质

条件

1. 狄利克雷条件

• 条件内容：
  • 函数f(t)在任意一个周期内只有有限个间断点。这意味着函数在一个周期内不能有无限多个间断点，例如像狄利克雷函数（在有理数点取值为1，无理数点取值为0）这样有无限多个间断点的函数就不满足这个条件。
  • 函数f(t)在任意一个周期内只有有限个极值点。即函数在一个周期内不会出现无限多个极大值或极小值点，像一些高度振荡的函数可能会因为有过多极值点而不满足此条件。
  • 函数f(t)在一个周期内是绝对可积的，即\(\int_{T}|f(t)|dt<\infty\)，其中T是函数的周期。这要求函数的绝对值在一个周期内的积分是有限值，例如\(f(t)=\frac{1}{t}\)在(0,1)区间上就不是绝对可积的。
• 意义：
  • 满足狄利克雷条件的周期函数可以展开成傅里叶级数。傅里叶级数是将周期函数分解为一系列正弦和余弦函数的和，狄利克雷条件保证了这种分解在数学上是可行的。

1. 一般傅里叶变换存在条件（非周期函数情况）

• 条件内容：
  • 函数f(t)在整个实数域\(-\infty,\infty\)上绝对可积，即\(\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|dt<\infty\)。这意味着函数的绝对值在整个实数轴上的积分是有限的，很多常见函数都需要满足这个条件才能进行傅里叶变换。例如\(f(t) = e^{-|t|}\)满足此条件，而f(t)=1（常数函数）不满足。
  • 因为能量信号是指信号的总能量是有限的，即\(\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 \, dt < \infty\)，显然，如果一个信号的总能量有限，那么它一定是绝对可积的。因此，能量信号的傅里叶变换一定存在。
• 意义：
  • 当函数满足这个条件时，其傅里叶变换\(F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt\)存在。傅里叶变换可以将函数从时域转换到频域，通过分析频域特性来研究函数的性质，在信号处理、图像处理等领域有重要应用。
• 放宽条件（广义傅里叶变换）：
  • 有时函数本身不满足绝对可积条件，但通过引入广义函数（如狄拉克δ函数），可以对其进行广义傅里叶变换。例如(f(t) = 1)的傅里叶变换是(2\pi\delta(\omega))，这里就是利用了广义函数的概念来处理不满足常规条件的函数的傅里叶变换。

性质

序号	性质	时域 \(f(t)\)	频域 \(F(\omega)\)	时域域对应关系
1	线性性质	\(\sum_{i=1}^n a_i f_i(t)\)	\(\sum_{i=1}^n a_i F_i(\omega)\)	线性
2	对称性质	\(f(t)\)	\(2\pi F(-\omega)\)	对称
3	尺度变换（比例性）	\(f(at), \quad a \neq 0\)	\(\frac{1}{|a|} F\left(\frac{\omega}{a}\right)\)	压缩对应扩展
4	时移特性	\(f(t-\tau)\)	\(F(\omega)e^{-j\omega\tau}\)	时域右移对应频域乘以 \(e^{-j\omega\tau}\)
5	频移特性（调制定理）	\(f(t)e^{j\omega_0 t}\)	\(F(\omega - \omega_0)\)	时域乘以 \(e^{j\omega_0 t}\) 对应频域右移 \(\omega_0\)
6	时域微分	\(\frac{d^n}{dt^n} f(t)\)	\((j\omega)^n F(\omega)\)	微分对应乘以 \((j\omega)^n\)
7	时域积分	\(\int_{-\infty}^t f(\tau) d\tau\)	\(\frac{F(\omega)}{j\omega} + \pi F(0)\delta(\omega)\)	积分对应除以 \((j\omega)\) 再补上冲激
8	频域微分	\((-j\tau)^n f(t)\)	\(\frac{d^n}{d\omega^n} F(\omega)\)	乘以 \((-j\tau)^n\) 对应微分
9	频域积分	\(f(0)\delta(t) + f'(t)\)	\(\int_{-\infty}^\omega F(\Omega) d\Omega\)	除以 \((-j\tau)\) 再补上冲激（直流谱的反变换）对应积分
10	时域卷积	\(f_1(t) * f_2(t)\)	\(F_1(\omega) \cdot F_2(\omega)\)	卷积对应乘积
11	频域卷积	\(f_1(t) \cdot f_2(t)\)	\(\frac{1}{2\pi} F_1(\omega) * F_2(\omega)\)	乘积对应卷积
12	能量公式	\(\int_{-\infty}^\infty f^2(t) dt\)	\(\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty |F(\omega)|^2 d\omega\)	信号的能量在时域与频域一致