我也不知道什么是"莫比乌斯反演"和"杜教筛"
upd：正在写一篇复习向的文章，之后贴链接，可以作为这篇文章的一个补充。
upd：写好啦，戳这里。新写的这篇复习向文章QwQ，可以当做一个补充来看吧。不过新写的文章也有我新的理解吧。
Part0
最近一直在搞这些东西
做了将近20道题目吧
也算是有感而发
写点东西记录一下自己的感受
如果您真的想学会莫比乌斯反演和杜教筛，请拿出纸笔，每个式子都自己好好的推一遍，理解清楚每一步是怎么来的，并且自己好好思考。
Part1莫比乌斯反演
莫比乌斯反演啥都没有，就只有两个式子（一般只用一个）
原来我已经写过一次了，再在这里写一次
就只写常用的那个吧
基本的公式
对于一个函数\(f(x)\)
设\(g(x)=\sum_{x|d}f(d)\)
那么
这个有什么用？
似乎太有用了一点
随手搞道题目来说吧
求$$\sum_{i=1}n\sum_{j=1}m[gcd(i,j)=1]$$
这个东西很直接，
所以我们设$$f(x)=\sum_{i=1}n\sum_{j=1}m[gcd(i,j)=x]$$
根据莫比乌斯反演可以得到
\(g(x)\)是什么东西？
直接把\(x\)除到上面去
\([1|gcd]\)显然成立的
所以\(g(x)=[\frac{n}{x}][\frac{m}{x}]\)
可以\(O(1)\)计算
所以，\(f(1)\)可以\(O(n)\)计算
一起推下式子
莫比乌斯反演的套路太多了
我们再来看两道题目
Crash的数字表格
jzptab
这两题按照顺序看嗷
具体的过程直接看我博客里面写的东西
我们发现这两道题一模一样
但是下面的那道题目可以做到单次询问\(O(\sqrt n)\)
他多干了什么？？？
这个问题，我们自己再来重新推一下
不过找个容易点的东西
这个肯定没有前面我给的例子的莫比乌斯反演那么直接
但是我们观察一下，\(gcd\)的取值有哪些？？
\(1～n\)(假设\(n<m\))
那么，我们可以把\(gcd\)相同的项合并
所以，我们枚举\(gcd\)的值
后面的那一部分是不是想到了前面推出的东西？？？
所以先把\(d\)直接除上去
\(n/d\)和\(m/d\)不要想太多，你就当成\(x\)和\(y\)
不就是上面推过的第一个例子？？
把这一截放回我们要求的式子里面去
把\(x,y\)还是写成原样吧
是不是\(n/d\)可以数论分块
而在计算后面的东西的时候，\(\frac{n/d}{i}\)也可以数论分块？？
所以这个时候的复杂度是\(O(n)\)
与之相对应的就是上面Crash的数字表格的\(O(n)\)做法
可是，像下面那个\(O(\sqrt n)\)是怎么做的呢？
那我们就继续推一步
我们是不是可以直接对\(\frac{n}{id}\)分块呢？
所以，我们设\(T=id\)把\(id\)换一下
这个时候，比较关键的一步
把\(T\)提出来
为什么是这个？？
我们来分析一波
首先每一个\(T\)一定对应\([\frac{n}{T}][\frac{m}{T}]\)
这一项之和\(T\)有关，所以可以提出来
这个时候考虑对于每一个\(T\)，什么样的\(i\)和\(d\)会给他产生贡献呢？
最显然的一点，\(d\)是\(T\)的一个因数
看到上面的式子，我们不难发现会贡献一个\(d\)的什么东西
后面的是什么？\(\mu(i)\)
继续想想，既然\(T=id\)，我们枚举了一个\(T\)，
又知道\(d\)是\(T\)的一个因子了，所以\(i=\frac{T}{d}\)
所以，就有了上面把\(T\)拿出来的式子
前面的东西看起来可以数论分块
但是这样子后面的东西怎么办？
不可能\(O(\sqrt n)\)暴力枚举呀
没错，当然不需要暴力枚举
我们发现后面的东西也是一个积性函数（因为他是两个积性函数的狄利克雷卷积）
所以它是可以线性的筛出来的
到这里，前面对于\(T\)数论分块
后面的前缀和可以\(O(n)\)线性筛预处理出来
此时单次询问整体的复杂度就是\(O(\sqrt n)\)
对了，不要思想江化
后面那个东西如果不能够直接线性筛
那就不要线性筛了，
只要复杂度允许，暴力筛也是很可以的
其实，如果我们继续观察，很容易知道一点：
\(\sum_{d|T}d\mu(\frac{T}{d})=\varphi(T)\)
upd:原来底下的证明是假的，已经删掉了，这里用容斥的方法很容易证明，考虑到\(\mu\)是容斥系数就可以很容易的知道上述式子的组合意义。
我们知道\((1*\varphi)(i)=i\)
还知道\((1*\mu)(i)=e\)
其中\(1\)是\(f(x)=1\)
\(e\)是\(f(x)=[x=1]\)
\(id\)是\(f(x)=x\)
所以这个东西当然可以线性筛啦。
莫比乌斯反演差不多就到这里啦
我们经历的复杂度从\(O(n^2)\)的暴力
推一步之后变成了\(O(n)\)
再变成了\(O(\sqrt n)\)
莫比乌斯反演的关键步骤也就是两步
首先是化简式子，写成莫比乌斯反演的形式
然后就是怎么处理前缀和，数论分块等东西的问题
这些能够解决好，莫比乌斯反演的题目就很好解决啦
Part2线性筛
当然是怎么各种线性筛东西啦
线性筛最重要的一点：
每个数一定，也只会，被他的最小质因子给筛到
说白点，比如说\(72=2*2*2*3*3\)
他就会被他的最小质因子给筛到
也就是\(2*36\)时被筛到
所以，一般线性筛如果要存储其他的东西来筛的话
一定是记录最小质因子的东西
大概的写一下几个积性函数：
\(\mu\)莫比乌斯函数
这个怎么筛应该都会吧
\(\varphi\)欧拉函数
怎么筛应该也很明显吧。
\(d\)约数个数
这个怎么筛？
考虑唯一分解定理:
\(x=\prod p_i^{ai}\)
那么\(d(x)=\prod (ai+1)\)
记录一下最小质因子的个数
每次就先把原来的除掉，再把\(+1\)后的个数乘上就好啦
\(\sigma\)约数和
还是唯一分解定理
\(x=\prod p_i^{ai}\)
\(\sigma(x)=\prod (\sum_{j=0}^{ai}p_i^j)\)
记录一下最小质因子的上面那个式子的和
以及这个因子的\(ai\)次幂
每次也是先除掉再乘上新的
\(a^k\) \(k\)次幂
把这个东西写进来，只是为了提醒一下
\(a^k\)这种东西是一个完全积性函数，也是可以丢进去筛的
\(inv\)乘法逆元
没啥，一样的，乘法逆元也是完全积性函数
蛤，我知道可以\(O(n)\)递推
只是写一下而已
我比较懒，不想把板子蒯过来
直接把ppl的链接给你们嗷（虽然他的代码风格我觉得很丑）
Part3杜教筛
来个栗子
线性筛\(O(n)\)复杂度，美滋滋
好的，我知道了
来一个很\(interesting\)的题目？？？
我当然知道你会线性筛
所以\(n<=10^9\)
杜教筛是蛤？
比如说。。
我们现在要求一个积性函数\(f(i)\)的前缀和\(S(i)\)
也就是说\(S(n)=\sum_{i=1}^nf(i)\)
现在很不好算呀
怎么办？？
这个时候，就来杜教筛套路一波
我再来找个积性函数\(g(i)\)（不知道是啥）
让\(g\)和\(f\)做一个卷积
再求一下卷积的前缀和
把\(d\)给提出来
如果仔细想想
我们就会有这个式子：
前面的东西是狄利克雷卷积
如果狄利克雷卷积的前缀和非常好算的话
那么我们就可以对后面的东西进行数论分块
然后递归计算。
提醒一句：
一定要记忆化，一定要记忆化，一定要记忆化
回到栗子
\(\sum_{i=1}^n\mu(i)\)
把杜教筛的公式套路式子找过来蛤
看到了\(\mu\)想一个积性函数，让他们的狄利克雷卷积前缀和很好算
我们知道
也就是说
\(e\)的前缀和是啥？
当然是\(1\)了
所以，取\(g(x)=1\)
这样子的话，首先线性筛出一部分的\(\mu\)的前缀和
然后来一波记忆化搜索美滋滋
再来个栗子把
把上面的\(\mu\)换成\(\varphi\)
我们还是知道
所以，如果是\(\varphi\)的话
就令\(g(x)=1\)
所以，
多好的套路
但是，不要被套路给套死啦
面对不同的函数
一定要考虑清楚\(g\)是啥
好的\(g\)能让你的程序更加好算
Part4我也不知道为什么要加上这一部分
好啦
上面好好地写了一下莫比乌斯反演和杜教筛
是不是觉得很简单
当然，莫比乌斯反演和杜教筛当然可以混在一起
莫比乌斯反演推柿子
杜教筛求前缀和
一点也不矛盾
既然我也不知道最后这部分干啥
那就找一堆题目来吧
欢迎查我水表
算了
还是把水表给你们把
莫比乌斯反演的水表
杜教筛的水表
最后，说几句话
不要因为有了杜教筛和线性筛
就天天想着怎么筛
筛不了就滚去写暴力
埃氏筛法很不错
暴力枚举因数也很不错
最后，一句最经典的话作为结尾
骗分过样例，暴力出奇迹
