我也不知道什么是"莫比乌斯反演"和"杜教筛"

upd:正在写一篇复习向的文章,之后贴链接,可以作为这篇文章的一个补充。
upd:写好啦,戳这里。新写的这篇复习向文章QwQ,可以当做一个补充来看吧。不过新写的文章也有我新的理解吧。

Part0

最近一直在搞这些东西
做了将近20道题目吧
也算是有感而发
写点东西记录一下自己的感受

如果您真的想学会莫比乌斯反演和杜教筛,请拿出纸笔,每个式子都自己好好的推一遍,理解清楚每一步是怎么来的,并且自己好好思考。

Part1莫比乌斯反演

莫比乌斯反演啥都没有,就只有两个式子(一般只用一个)
原来我已经写过一次了,再在这里写一次
就只写常用的那个吧

基本的公式


对于一个函数\(f(x)\)
\(g(x)=\sum_{x|d}f(d)\)
那么
\[f(x)=\sum_{x|d}\mu(\frac{d}{x})g(d)\]


这个有什么用?
似乎太有用了一点

随手搞道题目来说吧


\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)=1]\]

这个东西很直接,
所以我们设\[f(x)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)=x]\]
\[g(x)=\sum_{x|d}f(d)\]
根据莫比乌斯反演可以得到
\[f(1)=\sum_{1|d}\mu(\frac{d}{1})g(d)=\sum_{i=1}^n\mu(i)g(i)\]
\(g(x)\)是什么东西?
\[g(x)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[x|gcd(i,j)]\]
直接把\(x\)除到上面去
\[g(x)=\sum_{i=1}^{n/x}\sum_{j=1}^{m/x}[1|gcd(i,j)]\]
\([1|gcd]\)显然成立的
所以\(g(x)=[\frac{n}{x}][\frac{m}{x}]\)
可以\(O(1)\)计算
所以,\(f(1)\)可以\(O(n)\)计算


一起推下式子

莫比乌斯反演的套路太多了

我们再来看两道题目
Crash的数字表格
jzptab

这两题按照顺序看嗷

具体的过程直接看我博客里面写的东西

我们发现这两道题一模一样
但是下面的那道题目可以做到单次询问\(O(\sqrt n)\)

他多干了什么???
这个问题,我们自己再来重新推一下
不过找个容易点的东西


\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mgcd(i,j)\]

这个肯定没有前面我给的例子的莫比乌斯反演那么直接
但是我们观察一下,\(gcd\)的取值有哪些??
\(1~n\)(假设\(n<m\))
那么,我们可以把\(gcd\)相同的项合并

所以,我们枚举\(gcd\)的值
\[\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)=d]\]
后面的那一部分是不是想到了前面推出的东西???
所以先把\(d\)直接除上去
\[\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{m/d}[gcd(i,j)=1]\]
\(n/d\)\(m/d\)不要想太多,你就当成\(x\)\(y\)
\[\sum_{i=1}^{x}\sum_{j=1}^{y}[gcd(i,j)=1]\]
不就是上面推过的第一个例子??
\[=\sum_{i=1}^x\mu(i)[\frac{x}{i}][\frac{y}{i}]\]

把这一截放回我们要求的式子里面去
\[\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^{x}\mu(i)[\frac{x}{i}][\frac{y}{i}]\]
\(x,y\)还是写成原样吧
\[\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^{n/d}\mu(i)[\frac{n}{id}][\frac{m}{id}]\]

是不是\(n/d\)可以数论分块
而在计算后面的东西的时候,\(\frac{n/d}{i}\)也可以数论分块??
所以这个时候的复杂度是\(O(n)\)
与之相对应的就是上面Crash的数字表格\(O(n)\)做法

可是,像下面那个\(O(\sqrt n)\)是怎么做的呢?

那我们就继续推一步
我们是不是可以直接对\(\frac{n}{id}\)分块呢?
所以,我们设\(T=id\)\(id\)换一下
\[\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^{n/d}\mu(i)[\frac{n}{T}][\frac{m}{T}]\]
这个时候,比较关键的一步
\(T\)提出来
\[\sum_{T=1}^n[\frac{n}{T}][\frac{m}{T}]\sum_{d|T}d\mu(\frac{T}{d})\]
为什么是这个??
我们来分析一波
首先每一个\(T\)一定对应\([\frac{n}{T}][\frac{m}{T}]\)
这一项之和\(T\)有关,所以可以提出来

这个时候考虑对于每一个\(T\),什么样的\(i\)\(d\)会给他产生贡献呢?
最显然的一点,\(d\)\(T\)的一个因数
看到上面的式子,我们不难发现会贡献一个\(d\)的什么东西
后面的是什么?\(\mu(i)\)
继续想想,既然\(T=id\),我们枚举了一个\(T\)
又知道\(d\)\(T\)的一个因子了,所以\(i=\frac{T}{d}\)
所以,就有了上面把\(T\)拿出来的式子

前面的东西看起来可以数论分块
但是这样子后面的东西怎么办?
不可能\(O(\sqrt n)\)暴力枚举呀

没错,当然不需要暴力枚举
我们发现后面的东西也是一个积性函数(因为他是两个积性函数的狄利克雷卷积)
所以它是可以线性的筛出来的
到这里,前面对于\(T\)数论分块
后面的前缀和可以\(O(n)\)线性筛预处理出来
此时单次询问整体的复杂度就是\(O(\sqrt n)\)

对了,不要思想江化
后面那个东西如果不能够直接线性筛
那就不要线性筛了,
只要复杂度允许,暴力筛也是很可以的


其实,如果我们继续观察,很容易知道一点:
\(\sum_{d|T}d\mu(\frac{T}{d})=\varphi(T)\)

upd:原来底下的证明是假的,已经删掉了,这里用容斥的方法很容易证明,考虑到\(\mu\)是容斥系数就可以很容易的知道上述式子的组合意义。

我们知道\((1*\varphi)(i)=i\)
还知道\((1*\mu)(i)=e\)
其中\(1\)\(f(x)=1\)
\(e\)\(f(x)=[x=1]\)
\(id\)\(f(x)=x\)

所以这个东西当然可以线性筛啦。


莫比乌斯反演差不多就到这里啦
我们经历的复杂度从\(O(n^2)\)的暴力
推一步之后变成了\(O(n)\)
再变成了\(O(\sqrt n)\)

莫比乌斯反演的关键步骤也就是两步
首先是化简式子,写成莫比乌斯反演的形式
然后就是怎么处理前缀和,数论分块等东西的问题

这些能够解决好,莫比乌斯反演的题目就很好解决啦

Part2线性筛

当然是怎么各种线性筛东西啦

线性筛最重要的一点:
每个数一定,也只会,被他的最小质因子给筛到
说白点,比如说\(72=2*2*2*3*3\)
他就会被他的最小质因子给筛到
也就是\(2*36\)时被筛到

所以,一般线性筛如果要存储其他的东西来筛的话
一定是记录最小质因子的东西

大概的写一下几个积性函数:

\(\mu\)莫比乌斯函数

这个怎么筛应该都会吧

\(\varphi\)欧拉函数

怎么筛应该也很明显吧。

\(d\)约数个数

这个怎么筛?
考虑唯一分解定理:
\(x=\prod p_i^{ai}\)
那么\(d(x)=\prod (ai+1)\)
记录一下最小质因子的个数
每次就先把原来的除掉,再把\(+1\)后的个数乘上就好啦

\(\sigma\)约数和

还是唯一分解定理
\(x=\prod p_i^{ai}\)
\(\sigma(x)=\prod (\sum_{j=0}^{ai}p_i^j)\)
记录一下最小质因子的上面那个式子的和
以及这个因子的\(ai\)次幂
每次也是先除掉再乘上新的

\(a^k\) \(k\)次幂

把这个东西写进来,只是为了提醒一下
\(a^k\)这种东西是一个完全积性函数,也是可以丢进去筛的

\(inv\)乘法逆元

没啥,一样的,乘法逆元也是完全积性函数
蛤,我知道可以\(O(n)\)递推
只是写一下而已


我比较懒,不想把板子蒯过来
直接把ppl的链接给你们嗷(虽然他的代码风格我觉得很丑)

Part3杜教筛

来个栗子

线性筛\(O(n)\)复杂度,美滋滋
好的,我知道了
来一个很\(interesting\)的题目???

\[求\sum_{i=1}^n\mu(i)的值\]

我当然知道你会线性筛
所以\(n<=10^9\)

杜教筛是蛤?

比如说。。
我们现在要求一个积性函数\(f(i)\)的前缀和\(S(i)\)
也就是说\(S(n)=\sum_{i=1}^nf(i)\)

现在很不好算呀
怎么办??

这个时候,就来杜教筛套路一波

我再来找个积性函数\(g(i)\)(不知道是啥)
\(g\)\(f\)做一个卷积
\[(g*f)(i)=\sum_{d|i}g(d)f(\frac{i}{d})\]
再求一下卷积的前缀和
\[\sum_{i=1}^n(g*f)(i)=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}g(d)f(\frac{i}{d})\]
\(d\)给提出来
\[\sum_{d=1}^ng(d)\sum_{d|i}f(\frac{i}{d})\]
\[\sum_{d=1}^ng(d)\sum_{i=1}^{n/d}f(i)\]
\[\sum_{d=1}^ng(d)S(\frac{n}{d})\]
如果仔细想想
我们就会有这个式子:
\[g(1)S(n)=\sum_{i=1}^ng(i)S(\frac{n}{i})-\sum_{i=2}^ng(i)S(\frac{n}{i})\]
前面的东西是狄利克雷卷积
\[g(1)S(n)=\sum_{i=1}^n(g*f)(i)-\sum_{i=2}^ng(i)S(\frac{n}{i})\]
如果狄利克雷卷积的前缀和非常好算的话
那么我们就可以对后面的东西进行数论分块
然后递归计算。
提醒一句:
一定要记忆化,一定要记忆化,一定要记忆化

回到栗子

\(\sum_{i=1}^n\mu(i)\)
把杜教筛的公式套路式子找过来蛤
\[g(1)S(n)=\sum_{i=1}^n(g*\mu)(i)-\sum_{i=2}^ng(i)S(\frac{n}{i})\]
看到了\(\mu\)想一个积性函数,让他们的狄利克雷卷积前缀和很好算
我们知道
\[\sum_{d|i}\mu(d)=[i=1]=e\]
也就是说
\[(1*\mu)=e\]
\(e\)的前缀和是啥?
当然是\(1\)
所以,取\(g(x)=1\)
\[S(n)=1-\sum_{i=2}^nS(\frac{n}{i})\]
这样子的话,首先线性筛出一部分的\(\mu\)的前缀和
然后来一波记忆化搜索美滋滋


再来个栗子把
把上面的\(\mu\)换成\(\varphi\)
我们还是知道
\[\sum_{d|i}\varphi(d)=i=id(i)\]
所以,如果是\(\varphi\)的话
就令\(g(x)=1\)
所以,
\[S(n)=\frac{n*(n+1)}{2}-\sum_{i=2}^nS(\frac{n}{i})\]

多好的套路

但是,不要被套路给套死啦
面对不同的函数
一定要考虑清楚\(g\)是啥
好的\(g\)能让你的程序更加好算

Part4我也不知道为什么要加上这一部分

好啦
上面好好地写了一下莫比乌斯反演和杜教筛
是不是觉得很简单

当然,莫比乌斯反演和杜教筛当然可以混在一起

莫比乌斯反演推柿子
杜教筛求前缀和
一点也不矛盾


既然我也不知道最后这部分干啥
那就找一堆题目来吧
欢迎查我水表
算了
还是把水表给你们把
莫比乌斯反演的水表
杜教筛的水表


最后,说几句话
不要因为有了杜教筛和线性筛
就天天想着怎么筛
筛不了就滚去写暴力
埃氏筛法很不错
暴力枚举因数也很不错

最后,一句最经典的话作为结尾

骗分过样例,暴力出奇迹

posted @ 2018-01-17 20:13 小蒟蒻yyb 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏