随笔分类 - 数学方法 -- 莫比乌斯反演
摘要：【UOJ 62】【UR 5】怎样跑得更快（莫比乌斯反演） 题面 "UOJ" 题解 众所周知，$lcm(i,j)=\frac{ij}{gcd(i,j)}$，于是原式就变成了： $$\sum_{j=1}^n gcd(i,j)^{c d}i^dj^dx_j\equiv b_i$$ 于是我们就可以写成函数的
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摘要：【51nod1355】斐波那契的最小公倍数（min max容斥） 题面 "51nod" 题解 显然直接算还是没法算的，所以继续考虑$min max$容斥计算。 $$lcm(S)=\prod_{T\subset S}gcd(T)^{( 1)^{|T|+1}}$$ 而斐波那契数列满足$gcd(f(a),
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摘要：【Luogu5348】密码解锁（莫比乌斯反演，数论） 题面 "洛谷" 题解 首先题目给定的限制是$\sum_{n|i}a[i]=\mu(n)$，然后把这个东西反演一下， 莫比乌斯反演的式子是：$g(n)=\sum_{n|i}f(i)\rightarrow f(n)=\sum_{n|i}g(i)\mu
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摘要：【51NOD 1847】奇怪的数学题（莫比乌斯反演，杜教筛，min_25筛，第二类斯特林数） 题面 "51NOD" $$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nsgcd(i,j)^k$$ 其中$sgcd$表示次大公约数。 题解 明摆着$sgcd$就是在$gcd$的基础上除掉$gcd$的最小因
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摘要：【LOJ 572】Misaka Network 与求和（莫比乌斯反演，杜教筛，min_25筛） 题面 "LOJ" $$ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n f(gcd(i,j))^k$$ 其中$f(x)$表示$x$的次大质因子。 题解 这个数据范围不是杜教筛就是$min\_25$
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摘要：【BZOJ4815】[CQOI2017]小Q的表格（莫比乌斯反演，分块） 题面 "BZOJ" "洛谷" 题解 神仙题啊。 首先$f(a,b)=f(b,a)$告诉我们矩阵只要算一半就好了。 接下来是$b f(a,a+b)=(a+b) f(a,b)$ 这个式子怎么看呢？ $$\begin{aligned
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摘要：【BZOJ3202】项链（莫比乌斯反演，Burnside引理） 题面 "BZOJ" "洛谷" 题解 首先读完题目，很明显的感觉就是，分成了两个部分计算。 首先计算本质不同的珠子个数，再计算本质不同的项链个数。 前面一个部分和$gcd$相关，一种莫比乌斯反演的感觉。 后面一个部分出现了旋转操作，要求本
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摘要：【BZOJ2671】Calc 题面 "BZOJ" 给出N，统计满足下面条件的数对(a,b)的个数： 1.$1\le a\lt b\le N$ 2.$a+b$整除$a b$ ~~我竟然粘了题面！！！~~ 题解 还是今天菊开讲的。 设出$d=gcd(a,b)$ 那么，设$a=xd,b=yd,gcd(x,
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摘要：【CF809E】Surprise me!（动态规划，虚树，莫比乌斯反演） 题面 "洛谷" "CodeForces" 翻译： 给定一棵$n$个节点的树，每个点有一个权值$a[i]$，保证$a[i]$是一个$1..n$的排列。 求$$\frac{1}{n(n 1)}\sum_{i=1}^n\sum_{j
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摘要：【BZOJ3309】DZY Loves Math（莫比乌斯反演） 题面 求 $$\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^bf(gcd(a,b))$$ 其中，$f(x)$表示$x$分解质因数之后，最高的幂次 题解 完全不会莫比乌斯反演了。 先来推式子 $$\sum_{d=1}^a\sum_{i=
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摘要：【BZOJ3930】选数（莫比乌斯反演，杜教筛） 题面 给定$n,K,L,R$ 问从$L～R$中选出$n$个数，使得他们$gcd=K$的方案数 题解 这样想，既然$gcd=K$，首先就把区间缩小一下 这样变成了$gcd=1$ 设$f(i)$表示$gcd$恰好为$i$的方案数 那么，要求的是$f(1)
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摘要：【BZOJ3529】数表（莫比乌斯反演，树状数组） 题解 首先不管$A$的范围的限制 要求的东西是 $$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sigma(gcd(i,j))$$ 其中$\sigma(x)$表示$x$的约数之和 约数之和是一个积性函数，可以线性筛 具体的做法请参考 "皮皮亮
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摘要：【BZOJ4652】循环之美（莫比乌斯反演，杜教筛） 题解 到底在求什么呢。。。 首先不管他$K$进制的问题啦，真是烦死啦 所以，相当于有一个分数$\frac{i}{j}$ 因为值要不相等 所以有$i \perp j$，也就是$gcd(i,j)=1$ 现在考虑$K$进制 先从熟悉的$10$进制入手
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摘要：【Luogu3768】简单的数学题（莫比乌斯反演，杜教筛） 题面 "洛谷" $$求\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nijgcd(i,j)$$ $ n include include include include include include include include incl
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摘要：【BZOJ2820】YY的GCD（莫比乌斯反演） 题面 "讨厌权限题！！！提供洛谷题面" 题解 单次询问$O(n)$是做过的 "一模一样的题目" 但是现在很显然不行了， 于是继续推 $$ans=\sum_{d=1}^n[d\_is\_prime]\sum_{i=1}^{n/d}[\frac{n}{i
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摘要：【UVa11426】GCD Extreme (II)（莫比乌斯反演） 题面 "Vjudge" 题解 这。。 直接套路的莫比乌斯反演 我连式子都不想写了 "默认推到这里把。。" 然后把$ans$写一下 $$ans=\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^{n/d}\mu(i)[\frac{n}
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摘要：【BZOJ4816】数字表格（莫比乌斯反演） 题面 "BZOJ" 求 $$\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^mf[gcd(i,j)]$$ 题解 忽然不知道这个要怎么表示。。。 就写成这样吧。。 $$\prod_{d=1}^n\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^mif(g
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摘要：【BZOJ2693】jzptab（莫比乌斯反演） 题面 ~~讨厌权限题，只能跑到别的OJ上交~~ 和 "这题" 是一样的 多组数据 求$$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mlcm(i,j)$$ 题解 前面的部分直接看上面的那个链接 $$ans=\sum_{d=1}^nd\sum_{i=
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摘要：【BZOJ4407】于神之怒加强版（莫比乌斯反演） 题面 "BZOJ" 求： $$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mgcd(i,j)^k$$ 题解 根据惯用套路 把公约数提出来 $$\sum_{d=1}^nd^k\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)==d]
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摘要：【BZOJ2818】Gcd（莫比乌斯反演） 题面 Description 给定整数N，求1 include include include include include include include include include using namespace std; define MAX
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