数分技巧小记

  • \(\mathbb{F}, A\) 为两个集合,\(\forall x \in \mathbb F, \operatorname{card}(f(x)) = \operatorname{card}(A)\),那么有 \(\operatorname{card}(\mathbb F \times A) = \operatorname{card}(\bigcup_{x \in \mathbb F} f(x))\)

  • 对角线技巧

    证明:对于任意集合 \(X\),都有 \(\operatorname{card}(X) < \operatorname{card}(\mathcal P(X))\)

    显然 \(\operatorname{card}(X) \leq \operatorname{card}(\mathcal P(X))\)

    假设 \(\exist f: X \to \mathcal P(X)\) 为满射,那么构造 \(T = \{x | x \notin f(x)\}\),则 \(T \in \mathcal P(x)\)

    \(\forall x \in X\),如果 \(x \in f(x)\)\(x \notin T\),即 \(f(x) \neq T\);如果 \(x \notin f(x)\)\(x \in T\),也有 \(f(x) \neq T\)

    于是 \(f(X) \neq \mathcal P(X)\),得证。

  • 阿基米德原理的几个表述:

    1. \(\forall \varepsilon > 0, x \in \mathbb R, \exist n \in \mathbb N \ s.t. \ n\varepsilon > x\)
    2. \(\forall \varepsilon > 0, \exist n \in \mathbb N \ s.t. \ 0 < \frac 1n < \varepsilon\)
    3. \(\{\frac 1n\}_{n \in \mathbb N}\) 存在极限点
  • 如果两个集合有交集但是需要区分其中的元素,可以再加一维作为指示。

  • 实数完备性公理的等价定理互推合集

  • 证明一个数列有极限可以通过证明其上下极限相等进行。

  • Abel 求和(分部求和)

    \[\sum_{i = 1}^n a_ib_i = \sum_{i = 1}^{n - 1} \left(\sum_{k = 1}^i a_k\right)(b_{i} - b_{i + 1}) + \left(\sum_{i = 1}^n a_i\right) b_n \]

posted @ 2022-09-25 14:46  xgzc  阅读(26)  评论(0编辑  收藏  举报