随笔分类 - 数学方法 --- 莫比乌斯反演
摘要：题面 题解 设 \(\mathbf f' = \mathbf f * \mu\)，\(G_{\mathbf f} (n) = \sum_{n | d} \mathbf f(d)\)，记 \((i, j) = \gcd(i, j)\)，\([i, j] = \operatorname{lcm}(i,
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摘要："题面" 题解 考虑枚举序列最后一个位置的数字，得到 $f(x)$ 的转移方程： $$ f(x) = \begin{cases} 1 & x = 1 \\ \sum_{d|x, d \neq x} f(d) & x 1 \end{cases} $$ 设 $S(n) = \sum_{i=1}^n f(
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摘要："题面" 题解 看到这题~~第一眼只会 k = 2~~，百度搜一下「狄利克雷卷积」后得知有一个非常神仙的东西：狄利克雷生成函数。它大概长这样： $$ F(z) = \sum_{n \geq 1} \frac {f(n)}{n^z} $$ 显然这个函数的卷积对应数论函数 $f$ 的狄利克雷卷积。 可以
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摘要："题面" 题解 设$a_i = 0/1$表示元素$i$是否在集合$S$中。 那么$f$的生成函数为$\displaystyle F(x) = \prod_{i=1}^\infty \left(\frac 1{1 x ^ i}\right) ^ {a_i}$，于是问题就变成了我们已知$F$，求$a$。
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摘要："题面" 题解 记$N = \dfrac nm$ 这道题目就是要求$a_m = \sum_{i=1}^N \mu(i)\mu(im)$ 因为$\mu(ij) = \mu(i)\mu(j)[\gcd(i, j) = 1]$ 所以$a_m = \mu(m)\sum_{i=1}^N \mu^2(i) [\
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摘要："题面" 题解 这道题目还有一种比较有意思的解法。 定义一种运算$(\mathbf f\oplus\mathbf g)(x) = \prod\limits_{d\mid x}\mathbf f(d)^{\mathbf g(\frac xd)}$ 研究一下这种运算的性质： 虽然这个运算没有交换律也没有
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摘要："题面" 题解 这道题目的话，推式子比较休闲，写起来。。。 首先上套路，根据$\varphi$的一些性质，我们可以证明$\varphi(ij) = \frac{\varphi(i)\varphi(j)\gcd(i, j)}{\varphi(\gcd(i,j))}$。 开推：首先设$\textbf{f
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摘要：这一篇$\texttt$应该算这篇的后续，所以可以先看一下这一篇QwQ 0. 一些奇奇怪怪的数论函数 \(\begin{aligned}1. \; & \textbf{1}(x) = 1 \\2. \; & \textbf{id}(x) = x, \textbf{id}^k(x) = x ^ k \
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摘要："题面" 题解 首先，这种式子肯定是莫比乌斯反演之类的套路 $$ \begin{aligned} & \prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^n \frac{\mathrm{lcm}(i,j)}{\gcd(i,j)} \\ =& \prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^n \fr
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摘要：题面 题解 当$(x,y)$能被看到时，$gcd(x,y)=1$， 所以可以求$\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^n[gcd(x,y)=1]$ 或者用欧拉函数 代码
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摘要：题面 题解 $$ \sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b[gcd(i,\;j)=d] \\ =\sum_{i=1}^{\left\lfloor\frac ad\right\rfloor}\sum_{j=1}^{\left\lfloor\frac bd\right\rfloor}[gcd(i
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摘要：题面 题解 $$ \frac 1x + \frac 1y = \frac 1{n!} \\ \frac{x+y}{xy}=\frac 1{n!} \\ xy=n!(x+y) \\ xy-n!(x+y)=0 \\ (x-n!)(y-n!)=(n!)^2 \\ $$ 因为确定$(x-n!),(y-n!)
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摘要：题面 题解 $$ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(ijgcd(i,j)) \\ =\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\left(ij\sum_{d|i,d|j}\varphi(d)\right) \\ =\sum_{d=1}^nd^2\varphi(d)S\left(
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摘要：0.前置知识 一些函数 1. $1(n)=1$ 2. $id(n)=n$ 3. $\sigma(n)$为$n$的约数和 狄利克雷卷积 定义两个数论函数运算$ $， 若$h=f g$，则 $$ h(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac nd) $$ 它满足一些性质： 1. $f g=g f
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摘要：题面 题解 不管$a$的限制 我们要求的东西是：（$\sigma(x)$是$x$的约数个数和） $ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sigma(gcd(i,j)) $ 设$f(x)=\sigma(x)$，则我们可以找到一个$g$使得$f=1*g$，那么$g=\mu*f$ 所以$g(
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