莫比乌斯反演学习笔记

0.前置知识

一些函数

  1. \(1(n)=1\)
  2. \(id(n)=n\)
  3. \(\sigma(n)\)\(n\)的约数和

狄利克雷卷积

定义两个数论函数运算\(*\)

\(h=f*g\),则

\[h(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac nd) \]

它满足一些性质:

  1. \(f*g=g*f\)

  2. \(f*(g*h)=(f*g)*h\)

    因为\(\sum_{(ij)k=n}(f(i)g(j))h(k)=\sum_{i(jk)=n}f(i)(g(j)h(k))\)

  3. \((f+g)*h=f*h+g*h\)

  4. \((xf)*g=x(f*g)\)

  5. 设单位元\(\epsilon(n) = [n = 1]\),则\(\epsilon*f=f\)

  6. 对于每个\(f(1)\neq 0\)的函数\(f\),存在逆元\(g\)使得\(f*g=\epsilon\)

如何求一个函数的逆元呢?

\(g(n)\)满足以下式子:

\[g(n)=\frac 1{f(1)}\left(\epsilon(n)-\sum_{i|n,i\neq1}f(i)g(\frac ni)\right) \]

这样的话:

\[\sum_{i|n}f(i)g(\frac ni) \\ =f(1)g(n) + \sum_{i|n, i\neq 1} f(i)g(\frac ni) \\ =\epsilon(n) \\ \therefore f*g=\epsilon \]

1.莫比乌斯反演

定义一个函数\(\mu\)使得\(\mu*1=\epsilon\)

这样的话,如果\(g*1=f\),则\(f*\mu=g\)

即:如果\(f(n)=\sum_{d|n}g(d)\),则\(g(n)=\sum_{d|n}\mu(d)f(\frac nd)\)

是不是很简单

2.题目

\(n<m\)求:

#1

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)=1] \]

\(f=\epsilon\)\(\because \epsilon=1*\mu,\;\therefore g=\mu\)

于是原式变为:

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{d|i,d|j}\mu(d) \\ =\sum_{d=1}^n \mu(d)\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[d|i][d|j] \\ =\sum_{d=1}^n \mu(d)\left[\frac nd\right]\left[\frac md\right] \]

预处理\(\mu\),数论分块就可以\(O(\sqrt n)\)求了

#2

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m gcd(i,j) \]

\(f=id\)\(\because id=1*\varphi,\;\therefore g=\varphi\)

于是原式变为:

\[\sum_{d=1}^n\varphi(d)\left[\frac nd\right]\left[\frac md\right] \]

#3

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sigma(gcd(i,j)) \]

\(f=\sigma\)\(\because\sigma=1*(\mu*\sigma),\;\therefore g=\mu*\sigma\)

于是原式变为:

\[\sum_{d=1}^ng(d)\left[\frac nd\right]\left[\frac md\right] \]

因为积性函数可以线性筛,所以也可以预处理

#4

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mf(gcd(i,j)) \]

\(g=\mu*f\),如果我们能预处理出\(f\),那么可以这样求\(g\)

(当然是蒯的啦)

void get_g_1(int N, const int *f, int *g)
{
	for (int i = 1; i <= N; i++) g[i] = 0;
	for (int i = 1; i <= N; i++)
		for (int j = 1; i * j <= N; j++)
			g[i * j] = (g[i * j] + mu[i] * f[j]) % mod;
} // 依照定义,O(nlogn)

void get_g_2(int N, const int *f, int *g)
{
	for (int i = 1; i <= N; i++) g[i] = f[i];
	for (int i = 1; i <= N; i++)
		for (int j = 2; i * j <= N; j++)
			g[i * j] = (g[i * j] - g[i]) % mod;
} // 类似求狄利克雷卷积逆的方式,不需要线性筛 mu ,O(nlogn)

void get_g_3(int N, const int *f, int *g)
{
	for (int i = 1; i <= N; i++) g[i] = f[i];
	for (int i = 0; i < prime_count; i++)
		for (int j = N / prime[i]; j >= 1; j--)
			g[j * prime[i]] = (g[j * prime[i]] - g[j]) % mod;
} // Magic! O(nloglogn)

于是原式变为:

\[\sum_{d=1}^ng(d)\left[\frac nd\right]\left[\frac md\right] \]

posted @ 2018-12-27 08:48  xgzc  阅读(205)  评论(0编辑  收藏  举报