【洛谷5996】[PA2014] Muzeum（模拟费用流）

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• 一张网格图上有\(n\)个手办和\(m\)个警卫，每个手办有一个价值，每个警卫有一个贿赂代价。
• 每个警卫都看向\(y\)轴负半轴方向，且所有警卫视角一半的正切值都是\(\frac wh\)。
• 你只可以拿走所有不被任何未贿赂的警卫看到的手办，求最大收益。
• \(n,m\le2\times10^5\)

最大权闭合子图

这东西一眼就是个最大权闭合子图模型。

考虑选择一个手办，相当于所有能看到这个手办的警卫都必须被选择。

也就是说，按照最大权闭合子图的一般套路，我们有这样的建图方式：

• 从超级源向每个警卫连一条容量为对应贿赂代价的边。
• 从每个手办向超级汇连一条容量为对应价值的边。
• 所有警卫向能看到的手办连边。

答案就是所有手办的价值总和减去网络流的最小割（=最大流）。

直接暴力显然\(T\)飞，因此考虑优化。

推式子

假设我们要判断坐标\((x_i,y_i)\)的警卫能不能看到坐标\((x_j,y_j)\)的手办。

相当于要满足：

\[\begin{cases} y_i\ge y_j,\\ x_i-(y_i-y_j)\times\frac wh\le x_j\le x_i+(y_i-y_j)\times\frac wh \end{cases} \]

首先发现当\(y_i<y_j\)时第二个式子肯定不满足，因此第一个式子完全可以忽略。

而第二个位置我们先给每一项乘上\(h\)去分母，然后把它拆成两个不等式，再把含\(i\)的项放一边，含\(j\)的项放一边，一通变形后得到这样两个式子：

\[x_i\times h-y_i\times w\le x_j\times h-y_j\times w\\ x_i\times h+y_i\times w\ge x_j\times h+y_j\times w \]

考虑我们把坐标\((x,y)\)转换成\((x\times h+y\times w,x\times h-y\times w)\)。

那么警卫\(i\)能看到手办\(j\)的充要条件就是：\(x_i\ge x_j\)且\(y_i\le y_j\)。

模拟费用流

首先我们把所有警卫和手办一起按照\(x_i\)排个序（\(x_i\)相同手办靠前），那么每个警卫只能向他之前的手办连边，\(x\)这一维限制就消去了。

然后发现每个警卫一定是向\(y\)的值大于等于他的手办连边，既然求的是最大流，那么肯定优先流\(y\)最小的手办，因为\(y\)越大就越可能被其他警卫流到。

于是只要开个\(multiset\)维护一下就好了。

代码：\(O(nlogn)\)

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 200000
#define LL long long
#define Pr pair<LL,int>
#define mp make_pair
using namespace std;
int n,m,w,h;struct Data
{
	LL x,y;int v;I Data(Con LL& a=0,Con LL& b=0,CI c=0):x(a),y(b),v(c){}
	I bool operator < (Con Data& o) Con {return x^o.x?x<o.x:v>0;}//按第一维排序，相同时手办在前
}s[2*N+5];multiset<Pr> S;
int main()
{
	RI i,x,y,v;scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&w,&h);
	for(i=1;i<=n;++i) scanf("%d%d%d",&x,&y,&v),s[i]=Data(1LL*x*h+1LL*y*w,1LL*x*h-1LL*y*w,v);//坐标转换
	for(i=1;i<=m;++i) scanf("%d%d%d",&x,&y,&v),s[n+i]=Data(1LL*x*h+1LL*y*w,1LL*x*h-1LL*y*w,-v);//坐标转换
	Pr k;LL w,t=0;for(sort(s+1,s+n+m+1),i=1;i<=n+m;++i)//模拟费用流
	{
		if(s[i].v>0) {t+=s[i].v,S.insert(mp(s[i].y,s[i].v));continue;}//对于手办，统计价值总和，并扔入set中
		s[i].v*=-1;W(s[i].v&&!S.empty()&&(--S.end())->first>=s[i].y)
			S.erase(S.find(k=*S.lower_bound(mp(s[i].y,0)))),//取出y尽可能小的手办
			(w=min(s[i].v,k.second),s[i].v-=w,(k.second-=w)&&(S.insert(k),0),t-=w);//计算流量
	}return printf("%lld\n",t),0;//输出答案
}