【洛谷3286】[SCOI2014] 方伯伯的商场之旅（数位DP）

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• 给定一个正整数 \(k\)，编号为 \(i\) 的人面前的第 \(j\) 堆石子中的石子数恰好等于 \(i\) 在 \(k\) 进制下的第 \(j\) 位的值。
• 把某一个人面前的第 \(x\) 堆石子完全合并入第 \(y\) 堆石子需要的代价为 \(x\) 中的石子数 \(\times|x-y|\)。
• 求将 \([L,R]\) 中所有人面前的石子分别合并为一堆所需要的最小代价和。
• \(1\le L\le R\le10^{15}\)，\(2\le k\le20\)

数位 DP 求负变化量

对于一个人，我们的策略肯定选择 石子位置的中位数 作为最终的集合位置，但这样并不方便求解。

考虑将最终的集合位置从最高位向最低位移动，在这一过程中代价的变化量逐渐增大，所以当代价变化量由负转正时就可以停止移动了，因为之后不可能再出现新的负变化量。

用数位 DP 来实现对这一过程的维护。即，初始假设最终的集合位置在最高位，并求出所有人的代价和。然后，依次枚举每一个位置 \(i\)，DP 求出最终集合位置从第 \(i+1\) 位移到第 \(i\) 位的所有负变化量之和，更新答案。

具体地，对于每个 \(i\)，用记忆化搜索实现，记录 \(x,s\) 两维状态表示处理完前 \(x\) 位后代价变化量为 \(s\) 即可。

代码：\(O(k\log^4V)\)？

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Rg register
#define RI Rg int
#define Cn const
#define CI Cn int&
#define I inline
#define W while
#define V 5000
#define LL long long
using namespace std;
int k,c,a[60],g[60];LL f[60][V<<1];
I LL DP(CI x,CI s,CI fg=0)//记忆化搜索
{
	if(!x) return max(s,0);if(fg&&~f[x][s+V]) return f[x][s+V];LL t=0;
	RI lim=fg?k-1:a[x];for(RI i=0;i<=lim;++i) t+=DP(x-1,s+g[x]*i,fg||(i^lim));return fg&&(f[x][s+V]=t),t;//枚举这一位填的数
}
I LL Calc(LL n)//计算小于等于n的答案
{
	if(!n) return 0;c=0;W(n) a[++c]=n%k,n/=k;RI j;for(j=1;j<=c;++j) g[j]=c-j;memset(f,-1,sizeof(f));LL t=DP(c,0);//分解；假设最终集合位置在最高位
	for(RI i=c-1;i;memset(f,-1,sizeof(f)),t-=DP(c,0),--i) for(j=1;j<=c;++j) g[j]=j<=i?1:-1;return t;//求出最终集合位置从i+1移到i的负变化量之和
}
int main()
{
	LL L,R;return scanf("%lld%lld%d",&L,&R,&k),printf("%lld\n",Calc(R)-Calc(L-1)),0;
}