【洛谷1829】 [国家集训队] Crash的数字表格（重拾莫比乌斯反演）

点此看题面

大致题意： 求\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mlcm(i,j)\)。

推式子

不会莫比乌斯反演的可以先去看这篇博客：初学莫比乌斯反演。

反演题显然就是推式子啊~~~

考虑\(lcm\)这个东西不好做，所以我们先把它化成\(gcd\)：

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\frac{ij}{gcd(i,j)} \]

接下来就是按照套路枚举\(gcd\)了：

\[\sum_{d=1}^{min(n,m)}d\sum_{i=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac md\rfloor}ij[gcd(i,j)=1] \]

由于\([gcd(i,j)=1]\)这个式子不好直接搞，因此我们要进行转化。

想到\(e(n)=[n=1]\)，所以这个式子就相当于\(e(gcd(i,j))\)。

而\(\mu*I=e\)，所以：

\[e(gcd(i,j))=\sum_{p|gcd(i,j)}\mu(p)\cdot I(\frac{gcd(i,j)}p)=\sum_{p|gcd(i,j)}\mu(p) \]

也就是说，原式即为：

\[\sum_{d=1}^{min(n,m)}d\sum_{i=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac md\rfloor}ij\sum_{p|gcd(i,j)}\mu(p) \]

然后我们改为枚\(p\)，得到：

\[\sum_{d=1}^{min(n,m)}d\sum_{p=1}^{\lfloor\frac{min(n,m)}d\rfloor}\sum_{i=1}^{\lfloor\frac n{dp}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac m{dp}\rfloor}ijp^2\mu(p) \]

整理一下式子，调整一下顺序，得到：

\[\sum_{d=1}^{min(n,m)}d\sum_{p=1}^{\lfloor\frac{min(n,m)}d\rfloor}p^2\mu(p)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac n{dp}\rfloor}i\sum_{j=1}^{\lfloor\frac m{dp}\rfloor}j \]

设\(S(n)=\sum_{i=1}^ni=\frac{n(n+1)}2\)，则可得原式等于：

\[\sum_{d=1}^{min(n,m)}d\sum_{p=1}^{\lfloor\frac{min(n,m)}d\rfloor}p^2\mu(p)S(\lfloor\frac n{dp}\rfloor)S(\lfloor\frac m{dp}\rfloor) \]

那么我们预处理\(p^2\mu(p)\)的值，然后二维除法分块枚举\(d,p\)，就可以得出答案了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 10000000
#define X 20101009
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
using namespace std;
int n,m,t,f[N+5];
class LinearSiever//线性筛
{
	private:
		int Pt,mu[N+5],P[N+5];
	public:
		int F[N+5];
		I void Sieve(CI S)
		{
			RI i,j;for(mu[1]=1,i=2;i<=S;++i)//筛mu
			{
				!P[i]&&(mu[P[++Pt]=i]=-1);
				for(j=1;j<=Pt&&1LL*i*P[j]<=S;++j)
					if(P[i*P[j]]=1,i%P[j]) mu[i*P[j]]=-mu[i];else break;
			}
			for(i=1;i<=S;++i) F[i]=(1LL*i*i%X*(mu[i]+X)+F[i-1])%X;//预处理p^2mu(p)
		}
}L;
I int S(CI x) {return (1LL*x*(x+1)>>1)%X;}//计算从1到x的和
int main()
{
	RI l,r,ll,rr,res,ans=0;scanf("%d%d",&n,&m),L.Sieve(t=min(n,m));
	for(l=1;l<=t;l=r+1)//第一维除法分块
	{
		res=0,r=min(n/(n/l),m/(m/l));
		for(ll=1;ll<=t/l;ll=rr+1) rr=min((n/l)/(n/l/ll),(m/l)/(m/l/ll)),//第二维除法分块
			res=(1LL*(L.F[rr]-L.F[ll-1]+X)%X*S(n/l/ll)%X*S(m/l/ll)+res)%X;
		ans=(1LL*(S(r)-S(l-1)+X)%X*res+ans)%X;//统计答案
	}return printf("%d",ans),0;//输出答案
}