【LOJ6030】「雅礼集训 2017 Day1」矩阵（水题）

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• 给定一个\(n\times n\)的黑白矩阵。
• 一次操作可以用某一行的格子去覆盖某一列的格子。
• 问至少多少步能够把整个矩阵染黑。
• \(n\le1000\)

解题思路

先判无解，当且仅当所有格子为白。

考虑我们必然是先集中力量把某一行全部染黑，然后再用这一行把所有不是全黑的列染黑，整体分成两部分。

枚举选择第\(i\)行，如果一开始原本就有某一行的第\(i\)列为黑，我们可以利用这一行把所有第\(i\)行为白的列的第\(i\)行都染黑；如果没有，我们任选一个原本有黑的行去覆盖第\(i\)列，必然能产生第\(i\)列为黑的行。两种情况实际上只差一步。

然后我们发现一开始就全黑的列肯定不会去修改，而一开始不是全黑的列我们在之前的操作中肯定不可能把它染全黑，因此这部分的总操作次数实际上是固定的。

然后两部分拼起来就好了，求解答案的过程复杂度实际上只有\(O(n)\)。

代码：\(O(n^2)\)

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 1000
using namespace std;
int n,c[N+5],p[N+5];char s[N+5][N+5];
int main()
{
	RI i,j,t=0;for(scanf("%d",&n),i=1;i<=n;++i) scanf("%s",s[i]+1);
	for(i=1;i<=n;++i) for(j=1;j<=n;++j) s[i][j]=='#'&&(t=1);if(!t) return puts("-1"),0;//如果全白
	for(i=1;i<=n;++i) for(j=1;j<=n;++j) s[i][j]=='#'&&(++c[i],p[j]=1);//统计每行原本黑格子数，每列是否有黑格子
	for(t=0,j=1;j<=n;++j) {for(i=1;i<=n&&s[i][j]=='#';++i);i>n&&++t;}//统计原本全黑的列数
	RI w=1e9;for(i=1;i<=n;++i) w=min(w,!p[i]+(n-c[i])+(n-t));return printf("%d\n",w),0;//枚举染全黑的行统计答案
}