【CF958C3】Encryption（抽屉原理）

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• 给定一个长度为 \(n\) 的整数序列 \(a\)。
• 要求将它划分成 \(k\) 个非空子段，使得每段数之和模 \(p\) 的总和最小。
• \(1\le n\le5\times10^5\)，\(2\le k,p\le100\)

抽屉原理+最长不降子序列

设 \(s\) 为 \(a\) 的前缀和模 \(p\) 的值。

首先如果 \(n < kp\)，直接 \(O(nkp)\) 暴力 DP ，每次枚举上一段结尾 \(s_i\) 的值转移就可以了。

而由抽屉原理，发现当 \(n\ge kp\) 时，\(s\) 必然能找到一种数出现至少 \(k\) 次，也就是说肯定存在分段方案使得除开头和结尾以外所有段都模 \(p\) 余 \(0\)。

因此答案小于 \(2p\)，只可能是 \(s_n\) 或 \(s_n+p\)。

只需检验答案是不是 \(s_n\)。一种划分方案得出的值是 \(s_n\) 充要于划分出的每一段结尾 \(s_i\) 单调不降。

所以求出 \(s\) 的最长不降子序列，检验是否大于等于 \(k\) 即可。

代码：\(O(k^2p^2)/O(np)\)

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Rg register
#define RI Rg int
#define Cn const
#define CI Cn int&
#define I inline
#define W while
#define N 500000
#define M 100
using namespace std;
namespace FastIO
{
	#define FS 100000
	#define tc() (FA==FB&&(FB=(FA=FI)+fread(FI,1,FS,stdin),FA==FB)?EOF:*FA++)
	char oc,FI[FS],*FA=FI,*FB=FI;
	Tp I void read(Ty& x) {x=0;W(!isdigit(oc=tc()));W(x=(x<<3)+(x<<1)+(oc&15),isdigit(oc=tc()));}
	Ts I void read(Ty& x,Ar&... y) {read(x),read(y...);}
}using namespace FastIO;
int n,k,p,a[N+5],s[N+5],F[M+5];
int f[2][M*M+5],g[M+5];I void BF()//暴力
{
	RI i,j,o,INF;for(memset(f,60,sizeof(f)),INF=f[0][0],f[0][0]=0,o=1;o<=k;++o)
	{
		for(j=0;j^p;++j) g[j]=INF;for(i=0;i<=n;++i)
		{
			for(f[o&1][i]=INF,j=0;j^p;++j) f[o&1][i]=min(f[o&1][i],g[j]+(s[i]-j+p)%p);//枚举上一段结尾的值
			g[s[i]]=min(g[s[i]],f[o&1^1][i]);//更新这个余数的最小DP值
		}
	}printf("%d\n",f[k&1][n]);
}
int main()
{
	RI i,j;for(scanf("%d%d%d",&n,&k,&p),i=1;i<=n;++i) scanf("%d",a+i),s[i]=(s[i-1]+a[i])%p;if(n<k*p) return BF(),0;
	for(i=1;i<=n;++i) for(j=s[i];~j;--j) F[s[i]]=max(F[s[i]],F[j]+1);return printf("%d\n",s[n]+(F[s[n]]<k)*p),0;//求最长不降子序列
}