【CF1696F】Tree Recovery（构造）

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• 有一棵 \(n\) 个点的树，对于所有 \(i,j,k\) 给出 \(\operatorname{dist}(i,k)\) 与 \(\operatorname{dist}(j,k)\) 是否相等。
• 要求构造一棵符合条件的树，或判断无解。
• \(2\le n\le100\)

构造+检验

枚举除 \(1\) 号点外的所有点 \(i\)，则若有解，必然存在一个点与 \(1\) 号点相邻。

初始将 \((1,i),(i,1)\) 加入队列中，然后每次取出队首 \((x,y)\)，对所有满足 \(\operatorname{dist}(x,y)=\operatorname{dist}(y,z)\) 的 \(z\)，将 \((y,z)\) 加入队列。

假设我们枚举到了邻点，那么通过上面的方式便可以构造出符合条件的树。

但如果我们枚举到的不是邻点，同样可能构造出一棵树来，因此每次还需要对求出的答案做一个 \(O(n^3)\) 的检验。

代码：\(O(n^4)\)

#include<bits/stdc++.h>
#define Cn const
#define CI Cn int&
#define N 100
using namespace std;
int n,ex[N+5],ey[N+5],w[N+5][N+5][N+5];char s[N+5];
int q[N+5],p[N+5];bool Solve(int x,int y)//以x,y为起点构造
{
	int i,k,H,T;for(i=1;i<=n;++i) p[i]=0;p[q[H=1]=x]=y,p[q[T=2]=y]=x;
	while(H<=T) for(k=q[H++],i=1;i<=n;++i) if(w[p[k]][k][i]) if(p[i]) return 0;else p[q[++T]=i]=k;//加入dis[p[k]][k]=dis[k][i]的点
	if(T==n) {for(i=2;i<=n;++i) ex[i-1]=q[i],ey[i-1]=p[q[i]];return 1;}return 0;
}
int d[N+5][N+5],e[N+5][N+5];
void dfs(int o,int x,int D=0) {d[o][x]=D;for(int i=1;i<=n;++i) if(e[x][i]&&i^o&&!d[o][i]) dfs(o,i,D+1);}
bool Check()//暴力检验
{
	int i,j,k;for(i=1;i<=n;++i) for(j=1;j<=n;++j) e[i][j]=0,d[i][j]=0;
	for(i=1;i^n;++i) e[ex[i]][ey[i]]=e[ey[i]][ex[i]]=1;for(i=1;i<=n;++i) dfs(i,i,0);
	for(i=1;i<=n;++i) for(j=i+1;j<=n;++j) for(k=1;k<=n;++k) if((d[i][k]==d[j][k])^w[i][k][j]) return 0;return 1;
}
int main()
{
	int Tt,i,j,k,o;scanf("%d",&Tt);while(Tt--)
	{
		for(scanf("%d",&n),i=1;i<=n;++i) for(j=1;j<=n;++j) for(k=1;k<=n;++k) w[i][j][k]=0;
		for(i=1;i<=n;++i) for(j=i+1;j<=n;++j) for(scanf("%s",s+1),k=1;k<=n;++k) s[k]&1&&(w[i][k][j]=w[j][k][i]=1);
		for(i=2;i<=n;++i) if(Solve(1,i)&&Check()) break;if(i>n) {puts("No");continue;}//枚举1号点外的所有点与1号点构造答案
		for(puts("Yes"),i=1;i^n;++i) printf("%d %d\n",ex[i],ey[i]);
	}return 0;
}