【AtCoder】AtCoder Grand Contest 015 解题报告
真没想到居然能自己不看题解做完一场AGC。
不过这应该是一场比较老的比赛了，感觉相对最近的AGC来说题目难度确实算是偏低的了。
A：A+...+B Problem（点此看题面）
- 有一个长度为\(n\)的序列，已知其最小值和最大值。
- 求序列可能的和有多少种。
- \(n\le10^9\)
签到题
显然确定一个最小值和一个最大值之后，其他位置可以在\([A,B]\)中任选，因此共有\((n-2)\times(B-A)+1\)种可能的和。
但要注意\(A>B\)和\(n=1,A\not=B\)两种答案为\(0\)的情况。
代码：\(O(1)\)
#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
using namespace std;
int n,A,B;
int main()
{
if(scanf("%d%d%d",&n,&A,&B),A>B||(n==1&&A^B)) return puts("0"),0;//判无解
return printf("%lld\n",1LL*(n-2)*(B-A)+1),0;//直接计算答案
}
B：Evilator（点此看题面）
- 一个\(n\)层的楼，从第\(i\)层出发的电梯可以向给定方向\(s_i\)（
U或D）一次运行任意层。 - 设\(f(i,j)\)表示从第\(i\)层到第\(j\)层至少需要坐几次电梯，求\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nf(i,j)\)。
- \(n\le10^5\)，保证\(s_1\)为
U，\(s_n\)为D
签到题
显然，从第\(i\)层楼往上到任意层，如果\(s_i\)为U则需要一次，为D则需要两次。往下的情况与之相反。
那么只要枚举从哪层楼出发直接做即可。
代码：\(O(n)\)
#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 100000
using namespace std;
int n;char s[N+5];
int main()
{
scanf("%s",s+1),n=strlen(s+1);
RI i;long long t=0;for(i=1;i<=n;++i) t+=n-1+(s[i]^'U'?n-i:i-1);//枚举从第i层楼出发
return printf("%lld\n",t),0;
}
C：Nuske vs Phantom Thnook（点此看题面）
- 给定一个\(n\times m\)的\(01\)矩阵，满足所有\(1\)构成的连通块是森林。
- \(q\)组询问，每次求一个子矩阵中\(1\)构成的连通块数。
- \(n,m\le2\times10^3,q\le2\times10^5\)
套路题
众所周知，森林满足一个性质：连通块数=点数-边数。
那么我们只要知道询问的子矩阵中的点数和边数，就可以计算出连通块数了。
而这只要二维前缀和差分一下就行了。
代码：\(O(nm+q)\)
#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 2000
using namespace std;
int n,m,Qt,d[N+5][N+5],h[N+5][N+5],l[N+5][N+5];char a[N+5][N+5];
int main()
{
RI i,j;for(scanf("%d%d%d",&n,&m,&Qt),i=1;i<=n;++i) scanf("%s",a[i]+1);
for(i=1;i<=n;++i) for(j=1;j<=m;++j)
d[i][j]=d[i-1][j]+d[i][j-1]-d[i-1][j-1]+(a[i][j]&1),//点
h[i][j]=h[i-1][j]+h[i][j-1]-h[i-1][j-1]+(a[i][j]&a[i-1][j]&1),//行之间的边
l[i][j]=l[i-1][j]+l[i][j-1]-l[i-1][j-1]+(a[i][j]&a[i][j-1]&1);//列之间的边
RI xx,yx,xy,yy,t;W(Qt--) scanf("%d%d%d%d",&xx,&yx,&xy,&yy),
t=d[xy][yy]-d[xx-1][yy]-d[xy][yx-1]+d[xx-1][yx-1],
t-=h[xy][yy]-h[xx][yy]-h[xy][yx-1]+h[xx][yx-1],
t-=l[xy][yy]-l[xx-1][yy]-l[xy][yx]+l[xx-1][yx],printf("%d\n",t);return 0;//连通块数=点数-边数
}
D：A or...or B Problem（点此看题面）
- 给定\(A,B\)，你可以在\([A,B]\)中选任意个数按位或起来，求可能的结果数。
- \(A\le B<2^{60}\)
初步思路
首先，若\(A=B\)，显然答案就是\(1\)。
否则，发现\(A\)和\(B\)中相同的前缀无论如何都不可能改变，我们索性把它们全删掉。
现在\(A\)和\(B\)的最高位（设其为第\(i\)位）是不同的，且显然\(A\)的最高位为\(0\)，\(B\)的最高位为\(1\)。
然后我们考虑把可能的结果分成两类：第\(i\)位为\(0\)和第\(i\)位为\(1\)。
第\(i\)位为\(0\)
此时就相当于\([2^i,B]\)中的数都不能选择， 那么就是在\([A,2^i)\)中选择的方案数。
然后，\([A,2^i)\)显然都是可以作为答案的，而若在此基础上或上任何一个数，都不可能使值变小，也不可能使值超出\(2^i-1\)，因此\(2^i-A\)就是这种情况下的答案。
第\(i\)位为\(1\)
方便起见，先除去\(B\)中的第\(i\)位，就变成在\([A,2^i)\)和\([0,B]\)中选择。
然后考虑找到\(B\)中此时最高的\(1\)所在的位置（设其为第\(j\)位，若没有则\(j=-1\)）。
显然\(B\ge 2^j\)，那么\(2^{j-1},2^{j-2},...,2^0\)肯定也都在\([0,B]\)的范围中。
也就是说，仅在\([0,B]\)中选择，我们可以得到的值除去第\(i\)位之后的范围是\([0,2^{j+1})\)。
那么现在就变成了在\([0,2^{j+1})\)和\([A,2^i)\)两个区间中任选数。
一种情况是\(A\le2^{j+1}\)，那么\([0,2^i)\)中的所有数都能得到，因此\(2^i\)就是这种情况下的答案。
另一种情况是\(A>2^{j+1}\)，对于\([0,2^{j+1})\)中的数已经达到了它们的极限，而\([A,2^i)\)其实和前面第\(i\)位为\(0\)的情况一样，因此\(2^{j+1}+(2^i-A)\)就是这种情况下的答案。
代码实现真的非常简洁。
代码：\(O(logB)\)
#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define LL long long
using namespace std;
int main()
{
LL A,B;if(scanf("%lld%lld",&A,&B),A==B) return puts("1"),0;//如果A=B
RI i;for(i=60;!((A^B)>>i&1);--i) A>>i&1&&(A^=1LL<<i,B^=1LL<<i);LL t=(1LL<<i)-A;//消去相同前缀，t记录第i位为0的答案
RI j=i-1;W(~j&&!(B>>j&1)) --j;if(A<=(1LL<<j+1)) return printf("%lld\n",t+(1LL<<i)),0;//找到此时最高位j，若能全取到
return printf("%lld\n",(t<<1)+(1LL<<j+1)),0;//若不能全取到
}
E：Mr.Aoki Incubator（点此看题面）
- 数轴上有\(n\)个点，每个点有一个初始位置\(p_i\)以及一个固定的向正方向移动的速度\(v_i\)。
- 初始时你可以选中若干点染色，一个染色点会给所有碰到的点都染上色。
- 求有多少种方案，会使得最终所有点都被染上了色。
- \(n\le2\times10^5\)
按初始位置排序
我们先把所有点按初始位置排个序，再作思考。
一个非常基础也非常重要的问题，就是一个点不光可能被直接染色，也可能被间接染色（就是一个未被选中的点经过了某个被选中的点，再经过了当前点）。
先只考虑一个点\(x\)被它后面的点\(y\)染色的情况，就按上面的说法分成两种：
- 直接染色：要求满足\(v_x<v_y\)。
- 间接染色：设原先被选中染色的点为\(z\)。则\(v_z<v_x<v_y,p_z>p_y\)。
然后发现，不管如何，都要满足\(v_x<v_y\)。
再仔细一想，发现只要存在一个满足\(v_x<v_y\)的\(y\)，使得\([p_y,p_x]\)之中存在一个点被染过色，那么\(x\)就会被染色。
最后结合\(x\)被它前面的点染色的情况，总结一下，就是要找到最小的满足\(v_x<v_l\)的点，以及最大的满足\(v_x>v_r\)的点，只要\([l,r]\)中有一个点被染过色，那么\(x\)就会被染色。
至于如何求出这个区间，直接维护一个栈，然后在上面二分就可以了。
动态规划
现在就变成了这样一个问题：存在若干个区间，要求每个区间中至少被选中一个点，求方案数。
设\(f_i\)表示最后一个点选中\(i\)的方案数。
假设要转移到\(f_j\)，显然，因为每个区间中都至少被选中一个点，所以\([i+1,j-1]\)之间不能存在一个完整的限制区间。
因此我们找到所有左端点大于\(i\)的区间，那么\(j\)不能大于它们右端点的最小值（设其为\(Mx_i\)）。
也就是说\(f_i\)可以转移到\([i+1,Mx_i]\)，也就是给这段区间的\(f_j\)都加上\(f_i\)。
直接差分一下就好了。
代码：\(O(nlogn)\)
#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 200000
#define X 1000000007
#define Inc(x,y) ((x+=(y))>=X&&(x-=X))
using namespace std;
int n,S[N+5],f[N+5],g[N+5],Mx[N+5];
struct line {int k,b;I bool operator < (Con line& o) Con {return b<o.b;}}s[N+5];
struct P {int l,r;I bool operator < (Con P& o) Con {return l<o.l;}}p[N+5];
I int F(RI l,RI r,CI x) {RI mid;W(l^r) s[S[mid=l+r>>1]].k>=x?r=mid:l=mid+1;return r;}//在栈中[l,r]上二分，求出第一个大于等于x的位置
int main()
{
RI i,x,y;for(scanf("%d",&n),i=1;i<=n;++i) scanf("%d%d",&s[i].b,&s[i].k);sort(s+1,s+n+1);
RI T=0;for(i=1;i<=n;++i)//从前往后
p[i].l=s[S[T]].k<=s[i].k?i:S[F(1,T,s[i].k+1)],s[S[T]].k<s[i].k&&(S[++T]=i);
for(s[0].k=2e9,T=n+1,i=n;i;--i)//从后往前
p[i].r=s[S[T]].k>=s[i].k?i:S[F(T,n+1,s[i].k)-1],s[S[T]].k>s[i].k&&(S[--T]=i);
RI j,t=n+1;for(sort(p+1,p+n+1),i=j=n;~i;Mx[i--]=t) W(p[j].l>i) t=min(t,p[j--].r);//倒枚一遍预处理Mx[i]
for(f[0]=1,i=0;i<=n+1;++i) i&&Inc(g[i],g[i-1]),
Inc(f[i],g[i]),Inc(g[i+1],f[i]),Inc(g[Mx[i]+1],X-f[i]);//差分打标记转移
return printf("%d\n",f[n+1]),0;//输出答案
}
F：Kenus the Ancient Greek（点此看题面）
- 定义\(F(i,j)\)表示求\(gcd(i,j)\)时的辗转相除次数。
- 对于所有\(i\in[1,A],j\in[1,B]\)，求\(F(i,j)\)的最大值以及能取到最大值的\(i,j\)组数。
- 数据组数\(\le3\times10^5,A,B\le10^{18}\)
斐波那契数
当\(A=B\)时，显然我们可以通过斐波那契数来卡到\(F(i,j)\)的上界。
实际上，当\(A\le B\)时，我们依然可以利用斐波那契数，只要找到最大的\(t\)满足\(Fib(t)\le A,Fib(t+1)\le B\)，那么答案就是\(t\)。
因此第一问其实是很好做的，于是主要就是要考虑第二问，即方案数。
大胆猜结论
首先我们先强制最开始的两个数\(a,b\)满足\(a<b<2a\)，则这种情况实际对应的方案数就是\(\lfloor\frac{B-b}a\rfloor+1\)。
然后考虑斐波那契递推式\(Fib(i)=Fib(i-1)+Fib(i-2)\)，那么我们所能做的就是对于若干\(Fib(i)\)修改一下递推式的系数得到\(Fib'(i)=kFib'(i-1)+Fib'(i-2)\)。
接着我们发现，\(a\)必须在\([Fib(t),A]\)范围内，因此它的上界是卡得非常紧的。
具体地，我们发现，对于一个表达式，如果我们令\(k>2\)了，由于\(2Fib(i-1)>Fib(i)\)，那么最后的值至少翻倍，必然超过\(Fib(t+1)\)，更超过\(A\)。
然后我们考虑\(\frac{Fib(i)}{Fib(i+1)}≈0.618\)，如果修改的表达式个数\(>2\)，由于\(1.618^2>2\)，那么最后的值也至少翻倍，必然超过\(Fib(t+1)\)，更超过\(A\)。
所以，得出结论，最多只会修改一个表达式，且只会把某一个\(k\)改成\(2\)。
剩下的就很简单了。
代码：\(O(88T)\)
#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define LL long long
#define X 1000000007
using namespace std;
int t;LL A,B,Fib[88],f[88][2];
I int Solve(LL A,LL B)//求答案
{
#define Calc(a,b) (B>=b?((B-b)/a+1)%X:0)//计算在[b,B]中与b模a同余的数的个数
RI i,ans=Calc(Fib[t],Fib[t+1]);LL a,b;for(i=1;i^t;++i)
a=f[t-i][0]*Fib[i]+f[t-i][1]*(Fib[i-1]+2*Fib[i]),//计算a
b=f[t-i+1][0]*Fib[i]+f[t-i+1][1]*(Fib[i-1]+2*Fib[i]),//计算b
a<=A&&b<=B&&(ans=(ans+Calc(a,b))%X);
return ans;
}
int main()
{
RI Tt,i;for(Fib[0]=Fib[1]=f[0][0]=f[1][1]=1,i=2;i^88;++i)
Fib[i]=Fib[i-2]+Fib[i-1],f[i][0]=f[i-2][0]+f[i-1][0],f[i][1]=f[i-2][1]+f[i-1][1];//预处理斐波那契数以及每一项中Fib(0)和Fib(1)的贡献
scanf("%d",&Tt);W(Tt--)
{
scanf("%lld%lld",&A,&B),A>B&&(swap(A,B),0);//强制A≤B
if(A==1||B<=2) {printf("1 %d\n",A*B%X);continue;}//特判小情况
t=upper_bound(Fib+1,Fib+88,A)-Fib-1,Fib[t+1]>B&&--t,//求出t
printf("%d %d\n",t,(Solve(A,B)+Solve(A,A))%X);
}return 0;
}
