随笔分类 - 数学
摘要：线性代数 替换定理 对于向量空间 \(S\) 的一组基底 \(A=\{a_1,a_2,...,a_n\}\) 和 \(S\) 的一个线性无关组 \(B=\{b_1,b_2,...,b_m\}\) ，有 \(A'\subset A\) 满足 \(A'\cup B\) 仍然为 \(S\) 的一组基底，而
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摘要：进制位骚操作总结 lowbit 最低的为 \(1\) 的二进制位。 x&-x 利用负数二进制存储为补码的性质，我们知道负数补码是按位取反后+1，也就是原来最低的连续的一段 \(0\) 会疯狂进位直到遇到第一个 \(1\) ，和原数按位与一下就可以了。 highbit 最高的为 \(1\) 的二进制位
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摘要：多项式入门教程 基础概念 形如 \(F(x)=a_1+a_2x+a_3x^2+...+a_nx^n\) 的东西叫多项式。 然后，这个 \(n\) 可以是无穷大的。 其中上面的 \(a_i\) 称为多项式的第 \(i\) 项系数。 多项式乘法 即各项相乘，假设有两个多项式 \(F(x)=\sum_{i
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摘要：更新日志 Update 2022/6/26 增加了一个组合恒等式及其证明 Update 2022/6/27 增加了一个组合恒等式及其证明 组合数学 基础概念 加法和乘法原理 加法原理 同一步下的不同选择，可以通过累加得到方案数。 乘法原理 整个流程的方案数可以由每一步的方案数相乘得到。 有了加法原理
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摘要：数论 概念基础 注:本文默认 \(n/d\) 为下取整的除法。 整除 定义：对于两个数 \(a,b\) ，我们称 \(a|b\) ，当且仅当存在一个 \(k\) 使得 \(b=ak\) 。 这个运算有一些稍微值得被称为性质的性质，如下： 性质1 该运算具有传递性，即 \(a|b \vee b|c\)
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摘要：多项式 形如 \(f(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i\) 的式子叫做多项式。 我们称其最高次项的次数为该多项式的度，即 \(deg~f\) 多项式操作 我们提前申明： \[ f(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i \\ g(x)=\sum_{i=0}^{m}b_ix^i
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摘要：偏序集合 一个集合 $P$ 内的 $\le$ 满足偏序则 $P$ 为 偏序集合。 $\le$ 为偏序则其具有 自反性，反对称性，递移性 ，即对于 $a,b,c\in P$ ，满足： $a\le a$ 如果 $a\le b $ 且 $b\le a$ ，那么 $a=b$ 如果 $a\le b$ 且 $b
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摘要：康托展开 可以用于求 全排列 的排名（字典序）。 我们先给定一组排列。这里为了举例方便就拿了 OI-wiki 上的例子 \(\{2,5,3,4,1\}\) 了。 我们第一位是 \(2\) ，那么以 \(1\) 开头的就都比它小。后面的也是同理的搞法，就是看当前这位有多少个比它小还之前没有出现过的数（
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摘要：素数判定 暴力 本质上是检查其是否能够不用其本身进行质因数分解。 直接枚举从区间 $[2,n)$ 的数看其是否整除 $n$ 即可。但是其实发现我们只要枚举到 $\sqrt n$ 即可，复杂度 $O(\sqrt n)$。 inline bool prime(ll n){ for(int i=2;i*i
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摘要：可参考资料: 资料1 资料2 实现如下: LL CRT(){ LL num=1,ans=0; for(int i=1;i<=n;++i) num*=a[i]; for(int i=1;i<=n;++i){ LL mum=num/a[i],x,y; exgcd(mum,a[i],x,y); ans=(
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摘要：前置知识 对于\(N^*=\{\lfloor n/i \rfloor|i\in[1,n]\}\). (1) 满足 \(\lfloor n/i \rfloor = x\in N^*\) 的最大的 \(i\) 为 \(\lfloor n/x \rfloor\). (1)证明: 显然有 \(x\le n/
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摘要：狄利克雷卷积 定义:\((f*g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g(n/d)\) 很显然满足交换律和结合律。 积性函数 为积性函数的有: \(I (n)\) (或$1(n)$ ),恒等于1，所以叫恒等函数 \(\epsilon (n)\) (或者$e(n)$ ),当且仅当 \(n=1\) 时，
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摘要：直接给公式，你会发现它直接覆盖了费马小定理。 \(a^b=a^{b\% \varphi(p)},gcd(a,p)=1\ (mod\ p)\) \(=a^b,gcd(a,p)\not=1,b < \varphi(p)\ (mod\ p)\) \(=a^{b\%\varphi(p)+\varphi(p)
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摘要：P1082 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define file(a) freopen(#a".in","r",stdin),freopen(#a".out","w",stdout) int exgcd(int a,int b,int &
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摘要：优秀资料 素数 这个很好写。我们可以很好的理解埃氏筛，然后加一些优化即可得到线性筛。 inline void get_pri(int n){ for(int i=2;i<=n;++i) not_pri[i]=0; not_pri[1]=1; for(int i=2;i<=n;++i){ if(!no
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摘要：我们对于一个要求的数论函数 $f(x)$,定义 $S(n)=\sum_{i=1}^nf(x)$ 然后我们考虑构造一个 $S(n)$ 关于 $S(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)$ 的一个递推式子。 我们发现，对于任意的一个数论函数 $g(x)$ ,我们有： $$\sum_{i=1
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摘要：筛选素数 枚举每个数，并枚举它的倍数，给它的倍数打上非质数标记 用bitset存储标记会加速一倍，空间开销小一倍 { pri[1]=1; for(int i=2;i<=n;i++) { if(!pri[i]) { for(int j=2;i*j<=n;j++) { pri[i*j]=1; } } }
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摘要：优点: 1.回带比原版高斯消元少，速度更快(一般情况下) 2.精度更好 3.代码实现更简单 代码如下：模板P3389 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define file(a) freopen(#a".in","r",stdin),fre
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摘要：前置知识 矩阵乘法 矩乘快速幂 领接矩阵k次方的意义 因为我不知道怎么证明这个，就直接告诉你，若 \(A\) 是一个领接矩阵,那么 \(A^{n}_{i,j}\) 的意义为点 i，到达点 j 长度为 k 的路径数量。 是不是看着就觉得很好用 但是很显然 k 比较大的时候我们不可能一层一层乘上去。所以
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摘要：封装一个矩阵，带乘法,加法和清空 struct matrix { int n,m; long long a[N][N]; friend matrix operator * (matrix x,matrix y) { matrix c; c.n=x.n;c.m=y.m; c.clear(0); for
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