扩展欧几里得（逆元）（新）

重新整理一下扩欧。
扩展欧几里得就是欧几里得算法也就是辗转相除法的扩展应用，扩展后的作用主要为求二元一次方程组的一个解。（通常我们会用 exgcd 求逆元，在逆元存在的情况下，详细见最下面——求逆元） 。

基本原理

众所周知，一个式子是无法确定两个未知数的唯一值的，因此 exgcd 只能解出一种符合要求的解，但是因为有通解的存在，你可以由这个解推出其他所有的可能解。（通解详见文章 exgcd 通解（新））

先看看扩展的地方，欧几里得的原理是 \(\gcd(a,b) = \gcd(b, a\bmod b)\)，设 \(\gcd(a, b) = d\) 我们可以到一个式子 \(ax + by = d\)（来自裴蜀定理），根据辗转相除法的原理，我们会不断将 \(a,b\) 辗转相除，直到一个数为 \(0\)（设这个数为 \(b'\)），但此时上面的式子依旧成立，即 \(a'x' + 0 \times y' = d\)，也就是 \(a'x' = d\)，根据辗转相除法的原理，此时 \(a'\) 就是求得的最大公约数。此时我们就可以知道，\(a'x' = d\) 中的 \(x'\) 应该为 \(1\)，而 \(y'\) 可以为任意数（\(0\) 乘任何数都是 \(0\)，一般取 \(0\)）。现在，你已经求出了一个符合的 \(x',y'\)，而这个值我们可以回代，就可以求出最初 \(ax + by = d\) 中的 \(x,y\)。

该怎么回代呢，这里比较抽象，我们想一想，辗转完一次后的 \(a',b'\) 分别等于多少呢？看看辗转相除法的代码。

int gcd(int a, int b)
{
	return b ? a : gcd(b, a % b);
}

可以发现我们向下传的 \(a',b'\) 其实就是 \(b,a \bmod b\)。那么我们等式 \(a'x' + b'y' = d\) 就变为了，\(bx' + (a \bmod b)y' = d\)，我们也知道 \(a \bmod b = a - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor \times b\)，那么式子就可以进一步化为

\[bx' + ay' - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor \times by' = d \]

整理可得

\[ay' + b(x' - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor y') = d \]

而我们之前的式子有

\[ax + by = d \]

这就产生对应关系了，如果我们知道一种 \(x',y'\) 的值，就可以求出一种 \(x,y\) 的值，对应关系即为

\[\begin{aligned} x &= y' \\ y &= x' - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor y' \end{aligned} \]

还记得上面说的，我们可以求出最后一个 \(x',y'\) 的值吗，既然有了关系，那么就可以回代了。

代码实现

然后就是代码中的实现方式，为了把后面的 \(x',y'\) 传上来，我们需要用取址，在最后还要特判 \(b = 0\) 时，把此时的 \(x,y\) 赋值。对于之前的 \(x,y\) 我们就根据关系来求出即可，而这一步，就是本文重点。

我们可以写出如下代码

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
    {
        if (b == 0)
        {
            x = 1;
            y = 0;
            return a;
        }
        int d = exgcd(b, a % b, x, y);
        int tx = x, ty = y; // 即x',y'
        y = tx - a / b * ty;
        x = ty;
        return d;
    }

但实际上代码还可以精简，因为是用传址带回来的 \(x',y'\)，在当前 \(x,y\) 还没更新时，有 \(x = x'\) 和 \(y = y'\)，这样的关系，因此可以直接用 \(x,y\) 代替代码中 \(tx,ty\)，则有新代码

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
	if (b == 0)
	{
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	int d = exgcd(b, a % b, x, y);
	int t = y;
	y = x - a / b * t;
	x = t;
	return d;
}

但这还不是我们最常用的，众所周知，辗转相除法在代码实现上为了让 \(a,b\) 互换位置辗转相除，在递归上是 gcd(b, a % b)，而不是 gcd(a % b, b)。这里我们可以借鉴思想，把扩展欧几里得里面的 \(x,y\) 在递归下一层时换位。这样有什么好处？此时

\[x = y',y = x' \]

在求出当前 \(x,y\) 时就变成了

\[\begin{aligned} x &= y' = x \\ y &= x' - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor y' = y - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor x \end{aligned} \]

你会发现，\(x\) 我直接不用变了，而 \(y\) 我直接自减即可，不用定义新变量，更简洁，于是得到了代码

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
	if (b == 0)
	{
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	int d = exgcd(b, a % b, y, x);
	y -= a / b * x;
	return d;
}

而这就是我们最常用的扩展欧几里得代码。

求逆元

什么是逆元, 逆元就是形如 \(ax \equiv 1 \pmod p\) 其中 \(x\) 就叫做 \(a\) 对于 \(p\) 的一个逆元。相对的 \(a\) 就是 \(x\) 关于 \(p\) 的一个逆元。需要注意一点，逆元仅在所求数 \(a\) 与模数 \(p\) 互质时存在，同理可得 \(x\) 和 \(p\) 也互质（相对逆元）。

反证法：假如 \(a\) 和 \(b\) 不互质，因为有 \(ax \equiv 1 \pmod b\)，所以说有 \(ax + by = 1\)，设 \(d = \gcd(a,b) \not = 1\) 因为 \(a,b\) 不互质，所以存在 \(a = a'd, b = b'd\)， 所以存在 \(a' + b' = \frac{1}{d}\)，又因为 \(a',b'\) 都是整数，\(\frac{1}{d}\) 为小数，因此 \(a' + b'\) 不可能等于 \(\frac{1}{d}\)，因此 \(a' + b' = \frac{1}{d}\) 不可能成立，所以说 a,b 不可能不互质，即 \(a,b\) 一定互质。我们也可以推出，如果有形如 \(ax + by = 1\) 这类式子，\(a,b\) 一定互质，同理 \(x,y\)、\(a,y\)、\(b,x\) 这三组也一定两两互质互质。

知道了定义 \(ax \equiv 1 \pmod p\) 这个式子我们可以把他展开，变成 \(a * x + p * y = 1,(y \in \mathbb Z)\)
这个式子形如 \(ax + by = d\) （因为 \(a,p\) 互质，所以 \(d = 1\)），所以这个式子可以用 exgcd 求出里面的 \(x\)。

只要逆元存在，我们就可以使用 exgcd 将其求出。

注意：逆元不止一个，因为 exgcd 存在多解，所以逆元自然也就存在多个，如：\(a = 3,\; p = 4\) 此时逆元可以为 \(3,7, 11, 15,\dots\) 等等，所以逆元不只有一个。

补充

求逆元还有一种方法, 也是一种特殊的情况，当且仅当 \(p\) 为质数且 \((a, p) = 1\) 这时候它满足费马小定理 ：如果 \(p\) 是一个质数，而整数 \(a\) 不是 \(p\) 的倍数，也就是当且仅当 \(p\) 为质数且 \((a, p) = 1\)，则有 \(a ^ {p - 1} ≡ 1 \pmod p\) 。

这时候 \(x\) 也就是 \(a\) 的逆元就是 \(a ^ {p - 2}\)，而这个东西可以通过快速幂求解，这就是逆元的特殊求法。

应用

在阅读这里之前，请保证已经读完了 [[exgcd 通解（新）]]。

求解二元一次方程

先给与一个例题：P5656 【模板】二元一次不定方程 (exgcd) - 洛谷 做完这题，下面的也就应该会了。

求解二元一次方程一般也就涉及到这几个问题：

1. 是否有整数解。
2. 怎么求一个非负整数解。
3. 有几个非负整数解。
4. 怎么求一个正整数解。（正整数解即 \(x,y\) 均为正整数）
5. 有几个正整数解。
6. 非负整数解中的 \(x\) 或 \(y\) 的最大值和最小值各是多少。
7. 正整数解中 \(x\) 或 \(y\) 的最大值和最小值各是多少。

对于 \(a,b,d = \gcd(a, b)\) 有：

\[ ax + by = d \tag 1 \]

我们设有一个二元一次方程为：

\[ax_0 + by_0 = k \tag 2 \]

判断是否有整数解

对于整数解的判断，由裴蜀定理可得，如果 \(d | k\) 则说明有整数解。

证明

\(ax + by = \gcd(a, b)\) 是 \(a,b\) 能够形成的最基本的等式，\(a,b\) 形成的其他等式都是从这个放大（或者变化）而来。

反证法：假设存在 \(ax' + by' = k\) 使得 \(k < \gcd(a,b) = d\)，因为 \(d|a,\;d|b\)，所以 \(a = k_1d,\; b =k_2d\)，所以有 \(k_1x' + k_2y' = k/d\)，又因为 \(k < d\)，所以 \(k/d\) 一定是一个小数，而 \(k_1,\; k_2,\; x',\; y'\) 都是整数，因此 \(k_1x' + k_2y' \not= k/d\)，与假设矛盾。因此不存在 \(ax' + by' = k\) 使得 \(k < \gcd(a,b) = d\)，即：\(ax + by = \gcd(a, b)\) 是 \(a,b\) 能够形成的最基本的等式，命题得证。

这个也说明了 \(\gcd(a,b)\) 的基本性质。即等式只能由 \(ax + by = \gcd(a, b)\) 扩大而来，而不能缩小。而且因为 \(x,y\) 是不断变化的，所以如果式子要扩大，就必须扩大整数倍。

综上，我们可以推出，凡是形如 \(ax' + by' = k\) 的等式，\(k\) 一定能被 \(\gcd(a,b)\) 整除，否则等式不能成立。得证。

代码为：

int x, y;
int d = exgcd(a, b, x, y);

if (k % d == 0) puts("No");
else puts("Yes");

求一个非负整数解

求一个非负整数解，我们可以先求出一个整数解 x,y，然后对 \(x,y\) 中小于 \(0\) 的数加上通解，直到它非负。此时，在处理完非负后，如果 \(x,y\) 还存在负数，则说明无非负整数解。假设 \(x < 0\)，因为我们已经让 \(x\) 加上的 \(\lfloor \frac b d \rfloor\) 尽量少，然而 \(y\) 还是小于 \(0\)，说明无法得到非负整数解。

在处理添加通解的时候，假设 \(x < 0\)，设 \(cnt\) 为把 \(x\) 变为非负整数的最少 \(\lfloor \frac b d \rfloor\) 的数量，则有 \(cnt \ge (0 - x) \div \lfloor \frac b d \rfloor\)，又因为 \(cnt\) 为整数，所以 \(cnt = \lceil (0 - x) \div \lfloor \frac b d \rfloor \rceil\)。所以 \(x' = x + cnt \times (0 - x) \div \lfloor \frac b d \rfloor, \ y' = y - (0 - x) \div \lfloor \frac a d \rfloor\)。

用代码就是：

if (x < 0)
{
    LL cnt = ceil(1.0 * (0 - x) / (b / d));
    x += cnt * (b / d);
    y -= cnt * (a / d);
}
else if (y < 0)
{
    LL cnt = ceil(1.0* (0 - y) / (a / d));
    y += cnt * (a / d);
    x -= cnt * (b / d);
}

求非负整数解的数量

求非负整数解的数量，我们可以先找出一组非负整数解 ，设 \(cnt\) 为由通过 \(x,y\) 通解可以变化到的非负整数解的数量，那么 \(cnt = \lfloor x \div \lfloor \frac b d \rfloor \rfloor + \lfloor y \div \lfloor \frac a d \rfloor \rfloor\)（\(x,y\) 每加/减一个通解就可以得到新的一组解）。那么非负整数解的数量就是 \(cnt + 1\)。

代码为：

int cnt = x / (b / d) + y / (a / d);
ans = cnt + 1; // 非负整数解的数量

求一个正整数解

我们可以先求出一个非负整数解，那么此时有两种情况：

1. \(x,y\) 都不等于 \(0\)，那么此时 \(x,y\) 就是一个正整数解。
2. \(x,y\) 中有一个或全部等于 \(0\)，此时只需要给这个为 \(0\) 的数加上一个通解即可。且，这个新的 \(x,y\) 同时也是最小正整数解。注意如果在加完通解后 中存在负数，那么就没有正整数解。。

if (x < 0) // 处理非负整数解 x,y
{
    LL cnt = ceil(1.0 * (0 - x) / (b / d));
    x += cnt * (b / d);
    y -= cnt * (a / d);
}
else if (y < 0)
{
    LL cnt = ceil(1.0* (0 - y) / (a / d));
    y += cnt * (a / d);
    x -= cnt * (b / d);
}

if (x == 0) x += b / d, y -= a / d;
if (y == 0) y += a / d, x -= b / d;

求正整数解的数量

容易知道，存在 \(x = 0\) 或 \(y = 0\) 的解有且只有一个，如 \((0,y),(x,0)\) 这些每个一定只有一个。因为通解肯定会改变 \(x,y\)。注意 \(x,y\) 不可能同时等于 \(0\)，若都为 \(0\)，那么 \(a,b\) 肯定都为 \(0\)。

而我们知道，如果 \(x\) 或 \(y\) 等于 \(0\)，那么这个解就不是正整数解，因此，我们可以先求出非负整数解有多少，然后减去 \(x\) 或 \(y\) 等于 \(0\) 的解的数量，剩下的就是正整数解的数量。

代码为：

// 先求出非负整数解 x,y
int cnt = x / (b / d) + y / (a / d);
ans = cnt + 1; // 非负整数解的数量
int tx = x % (b / d), ty = y % (a / d); // 求出最小非负的x和y,注意,这个tx和ty不是同一个解里面的
if (tx == 0) ans -- ;
if (ty == 0) ans -- ;

/*
如果要顺便求出最小的
*/

求非负整数解中 \(x\) 或 \(y\) 的最大值和最小值是多少

我们可以直接算出来 \(cnt = \lfloor x \div \lfloor \frac b d \rfloor \rfloor + \lfloor y \div \lfloor \frac a d \rfloor \rfloor\)，其中 \(cnt\) 中有 \(\lfloor x \div \lfloor \frac b d \rfloor \rfloor\) 属于 \(x\)，有 \(\lfloor y \div \lfloor \frac a d \rfloor \rfloor\) 属于 \(y\)。因此要算出最小非负解，就直接减去对应 \(cnt\) 的通解即可，即：

\[\begin{aligned} x &= x - \lfloor x \div \lfloor \frac b d \rfloor \rfloor \times \lfloor \frac b d \rfloor \rfloor\\ y &= y - \lfloor y \div \lfloor \frac a d \rfloor \rfloor \times \lfloor \frac a d \rfloor \rfloor \end{aligned} \]

也就是：

\[\begin{aligned} x &= x \bmod \lfloor \frac b d \rfloor \\ y &= y \bmod \lfloor \frac a d \rfloor \end{aligned} \]

要算出最大值，就加上它没有的那部分 \(cnt\) 即可，即：

\[\begin{aligned} x &= x + \lfloor y \div \lfloor \frac a d \rfloor \rfloor \times \lfloor \frac b d \rfloor \rfloor \\ y &= y + \lfloor x \div \lfloor \frac b d \rfloor \rfloor \times \lfloor \frac a d \rfloor \rfloor \end{aligned} \]

求正整数解中 \(x\) 或 \(y\) 的最大值和最小值各是多少

对于正整数解来说，最小值的求法和求一个正整数解的方法一样。而对于最大值，就等于最大的非负整数解。

求解三元一次方程

求解三元一次方程

例题：D-斩杀线计算大师_牛客练习赛60
Problem - A - Codeforces
重新整理一下扩欧。
扩展欧几里得就是欧几里得算法也就是辗转相除法的扩展应用，扩展后的作用主要为求二元一次方程组的一个解。（通常我们会用 exgcd 求逆元，在逆元存在的情况下，详细见最下面——求逆元） 。

基本原理

众所周知，一个式子是无法确定两个未知数的唯一值的，因此 exgcd 只能解出一种符合要求的解，但是因为有通解的存在，你可以由这个解推出其他所有的可能解。（通解详见文章 exgcd 通解（新））

先看看扩展的地方，欧几里得的原理是 \(\gcd(a,b) = \gcd(b, a\bmod b)\)，设 \(\gcd(a, b) = d\) 我们可以到一个式子 \(ax + by = d\)（来自裴蜀定理），根据辗转相除法的原理，我们会不断将 \(a,b\) 辗转相除，直到一个数为 \(0\)（设这个数为 \(b'\)），但此时上面的式子依旧成立，即 \(a'x' + 0 \times y' = d\)，也就是 \(a'x' = d\)，根据辗转相除法的原理，此时 \(a'\) 就是求得的最大公约数。此时我们就可以知道，\(a'x' = d\) 中的 \(x'\) 应该为 \(1\)，而 \(y'\) 可以为任意数（\(0\) 乘任何数都是 \(0\)，一般取 \(0\)）。现在，你已经求出了一个符合的 \(x',y'\)，而这个值我们可以回代，就可以求出最初 \(ax + by = d\) 中的 \(x,y\)。

该怎么回代呢，这里比较抽象，我们想一想，辗转完一次后的 \(a',b'\) 分别等于多少呢？看看辗转相除法的代码。

int gcd(int a, int b)
{
	return b ? a : gcd(b, a % b);
}

可以发现我们向下传的 \(a',b'\) 其实就是 \(b,a \bmod b\)。那么我们等式 \(a'x' + b'y' = d\) 就变为了，\(bx' + (a \bmod b)y' = d\)，我们也知道 \(a \bmod b = a - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor \times b\)，那么式子就可以进一步化为

\[bx' + ay' - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor \times by' = d \]

整理可得

\[ay' + b(x' - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor y') = d \]

而我们之前的式子有

\[ax + by = d \]

这就产生对应关系了，如果我们知道一种 \(x',y'\) 的值，就可以求出一种 \(x,y\) 的值，对应关系即为

\[\begin{aligned} x &= y' \\ y &= x' - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor y' \end{aligned} \]

还记得上面说的，我们可以求出最后一个 \(x',y'\) 的值吗，既然有了关系，那么就可以回代了。

代码实现

然后就是代码中的实现方式，为了把后面的 \(x',y'\) 传上来，我们需要用取址，在最后还要特判 \(b = 0\) 时，把此时的 \(x,y\) 赋值。对于之前的 \(x,y\) 我们就根据关系来求出即可，而这一步，就是本文重点。

我们可以写出如下代码

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
    {
        if (b == 0)
        {
            x = 1;
            y = 0;
            return a;
        }
        int d = exgcd(b, a % b, x, y);
        int tx = x, ty = y; // 即x',y'
        y = tx - a / b * ty;
        x = ty;
        return d;
    }

但实际上代码还可以精简，因为是用传址带回来的 \(x',y'\)，在当前 \(x,y\) 还没更新时，有 \(x = x'\) 和 \(y = y'\)，这样的关系，因此可以直接用 \(x,y\) 代替代码中 \(tx,ty\)，则有新代码

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
	if (b == 0)
	{
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	int d = exgcd(b, a % b, x, y);
	int t = y;
	y = x - a / b * t;
	x = t;
	return d;
}

但这还不是我们最常用的，众所周知，辗转相除法在代码实现上为了让 \(a,b\) 互换位置辗转相除，在递归上是 gcd(b, a % b)，而不是 gcd(a % b, b)。这里我们可以借鉴思想，把扩展欧几里得里面的 \(x,y\) 在递归下一层时换位。这样有什么好处？此时

\[x = y',y = x' \]

在求出当前 \(x,y\) 时就变成了

\[\begin{aligned} x &= y' = x \\ y &= x' - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor y' = y - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor x \end{aligned} \]

你会发现，\(x\) 我直接不用变了，而 \(y\) 我直接自减即可，不用定义新变量，更简洁，于是得到了代码

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
	if (b == 0)
	{
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	int d = exgcd(b, a % b, y, x);
	y -= a / b * x;
	return d;
}

而这就是我们最常用的扩展欧几里得代码。

求逆元

什么是逆元, 逆元就是形如 \(ax \equiv 1 \pmod p\) 其中 \(x\) 就叫做 \(a\) 对于 \(p\) 的一个逆元。相对的 \(a\) 就是 \(x\) 关于 \(p\) 的一个逆元。需要注意一点，逆元仅在所求数 \(a\) 与模数 \(p\) 互质时存在，同理可得 \(x\) 和 \(p\) 也互质（相对逆元）。

反证法：假如 \(a\) 和 \(b\) 不互质，因为有 \(ax \equiv 1 \pmod b\)，所以说有 \(ax + by = 1\)，设 \(d = \gcd(a,b) \not = 1\) 因为 \(a,b\) 不互质，所以存在 \(a = a'd, b = b'd\)， 所以存在 \(a' + b' = \frac{1}{d}\)，又因为 \(a',b'\) 都是整数，\(\frac{1}{d}\) 为小数，因此 \(a' + b'\) 不可能等于 \(\frac{1}{d}\)，因此 \(a' + b' = \frac{1}{d}\) 不可能成立，所以说 a,b 不可能不互质，即 \(a,b\) 一定互质。我们也可以推出，如果有形如 \(ax + by = 1\) 这类式子，\(a,b\) 一定互质，同理 \(x,y\)、\(a,y\)、\(b,x\) 这三组也一定两两互质互质。

知道了定义 \(ax \equiv 1 \pmod p\) 这个式子我们可以把他展开，变成 \(a * x + p * y = 1,(y \in \mathbb Z)\)
这个式子形如 \(ax + by = d\) （因为 \(a,p\) 互质，所以 \(d = 1\)），所以这个式子可以用 exgcd 求出里面的 \(x\)。

只要逆元存在，我们就可以使用 exgcd 将其求出。

注意：逆元不止一个，因为 exgcd 存在多解，所以逆元自然也就存在多个，如：\(a = 3,\; p = 4\) 此时逆元可以为 \(3,7, 11, 15,\dots\) 等等，所以逆元不只有一个。

补充

求逆元还有一种方法, 也是一种特殊的情况，当且仅当 \(p\) 为质数且 \((a, p) = 1\) 这时候它满足费马小定理 ：如果 \(p\) 是一个质数，而整数 \(a\) 不是 \(p\) 的倍数，也就是当且仅当 \(p\) 为质数且 \((a, p) = 1\)，则有 \(a ^ {p - 1} ≡ 1 \pmod p\) 。

这时候 \(x\) 也就是 \(a\) 的逆元就是 \(a ^ {p - 2}\)，而这个东西可以通过快速幂求解，这就是逆元的特殊求法。

应用

在阅读这里之前，请保证已经读完了 [[exgcd 通解（新）]]。

求解二元一次方程

先给与一个例题：P5656 【模板】二元一次不定方程 (exgcd) - 洛谷 做完这题，下面的也就应该会了。

求解二元一次方程一般也就涉及到这几个问题：

1. 是否有整数解。
2. 怎么求一个非负整数解。
3. 有几个非负整数解。
4. 怎么求一个正整数解。（正整数解即 \(x,y\) 均为正整数）
5. 有几个正整数解。
6. 非负整数解中的 \(x\) 或 \(y\) 的最大值和最小值各是多少。
7. 正整数解中 \(x\) 或 \(y\) 的最大值和最小值各是多少。

对于 \(a,b,d = \gcd(a, b)\) 有：

\[ ax + by = d \tag 1 \]

我们设有一个二元一次方程为：

\[ax_0 + by_0 = k \tag 2 \]

判断是否有整数解

对于整数解的判断，由裴蜀定理可得，如果 \(d | k\) 则说明有整数解。

证明

\(ax + by = \gcd(a, b)\) 是 \(a,b\) 能够形成的最基本的等式，\(a,b\) 形成的其他等式都是从这个放大（或者变化）而来。

反证法：假设存在 \(ax' + by' = k\) 使得 \(k < \gcd(a,b) = d\)，因为 \(d|a,\;d|b\)，所以 \(a = k_1d,\; b =k_2d\)，所以有 \(k_1x' + k_2y' = k/d\)，又因为 \(k < d\)，所以 \(k/d\) 一定是一个小数，而 \(k_1,\; k_2,\; x',\; y'\) 都是整数，因此 \(k_1x' + k_2y' \not= k/d\)，与假设矛盾。因此不存在 \(ax' + by' = k\) 使得 \(k < \gcd(a,b) = d\)，即：\(ax + by = \gcd(a, b)\) 是 \(a,b\) 能够形成的最基本的等式，命题得证。

这个也说明了 \(\gcd(a,b)\) 的基本性质。即等式只能由 \(ax + by = \gcd(a, b)\) 扩大而来，而不能缩小。而且因为 \(x,y\) 是不断变化的，所以如果式子要扩大，就必须扩大整数倍。

综上，我们可以推出，凡是形如 \(ax' + by' = k\) 的等式，\(k\) 一定能被 \(\gcd(a,b)\) 整除，否则等式不能成立。得证。

代码为：

int x, y;
int d = exgcd(a, b, x, y);

if (k % d == 0) puts("No");
else puts("Yes");

求一个非负整数解

求一个非负整数解，我们可以先求出一个整数解 x,y，然后对 \(x,y\) 中小于 \(0\) 的数加上通解，直到它非负。此时，在处理完非负后，如果 \(x,y\) 还存在负数，则说明无非负整数解。假设 \(x < 0\)，因为我们已经让 \(x\) 加上的 \(\lfloor \frac b d \rfloor\) 尽量少，然而 \(y\) 还是小于 \(0\)，说明无法得到非负整数解。

在处理添加通解的时候，假设 \(x < 0\)，设 \(cnt\) 为把 \(x\) 变为非负整数的最少 \(\lfloor \frac b d \rfloor\) 的数量，则有 \(cnt \ge (0 - x) \div \lfloor \frac b d \rfloor\)，又因为 \(cnt\) 为整数，所以 \(cnt = \lceil (0 - x) \div \lfloor \frac b d \rfloor \rceil\)。所以 \(x' = x + cnt \times (0 - x) \div \lfloor \frac b d \rfloor, \ y' = y - (0 - x) \div \lfloor \frac a d \rfloor\)。

用代码就是：

if (x < 0)
{
    LL cnt = ceil(1.0 * (0 - x) / (b / d));
    x += cnt * (b / d);
    y -= cnt * (a / d);
}
else if (y < 0)
{
    LL cnt = ceil(1.0* (0 - y) / (a / d));
    y += cnt * (a / d);
    x -= cnt * (b / d);
}

求非负整数解的数量

求非负整数解的数量，我们可以先找出一组非负整数解 ，设 \(cnt\) 为由通过 \(x,y\) 通解可以变化到的非负整数解的数量，那么 \(cnt = \lfloor x \div \lfloor \frac b d \rfloor \rfloor + \lfloor y \div \lfloor \frac a d \rfloor \rfloor\)（\(x,y\) 每加/减一个通解就可以得到新的一组解）。那么非负整数解的数量就是 \(cnt + 1\)。

代码为：

int cnt = x / (b / d) + y / (a / d);
ans = cnt + 1; // 非负整数解的数量

求一个正整数解

我们可以先求出一个非负整数解，那么此时有两种情况：

1. \(x,y\) 都不等于 \(0\)，那么此时 \(x,y\) 就是一个正整数解。
2. \(x,y\) 中有一个或全部等于 \(0\)，此时只需要给这个为 \(0\) 的数加上一个通解即可。且，这个新的 \(x,y\) 同时也是最小正整数解。注意如果在加完通解后 中存在负数，那么就没有正整数解。。

if (x < 0) // 处理非负整数解 x,y
{
    LL cnt = ceil(1.0 * (0 - x) / (b / d));
    x += cnt * (b / d);
    y -= cnt * (a / d);
}
else if (y < 0)
{
    LL cnt = ceil(1.0* (0 - y) / (a / d));
    y += cnt * (a / d);
    x -= cnt * (b / d);
}

if (x == 0) x += b / d, y -= a / d;
if (y == 0) y += a / d, x -= b / d;

求正整数解的数量

容易知道，存在 \(x = 0\) 或 \(y = 0\) 的解有且只有一个，如 \((0,y),(x,0)\) 这些每个一定只有一个。因为通解肯定会改变 \(x,y\)。注意 \(x,y\) 不可能同时等于 \(0\)，若都为 \(0\)，那么 \(a,b\) 肯定都为 \(0\)。

而我们知道，如果 \(x\) 或 \(y\) 等于 \(0\)，那么这个解就不是正整数解，因此，我们可以先求出非负整数解有多少，然后减去 \(x\) 或 \(y\) 等于 \(0\) 的解的数量，剩下的就是正整数解的数量。

代码为：

// 先求出非负整数解 x,y
int cnt = x / (b / d) + y / (a / d);
ans = cnt + 1; // 非负整数解的数量
int tx = x % (b / d), ty = y % (a / d); // 求出最小非负的x和y,注意,这个tx和ty不是同一个解里面的
if (tx == 0) ans -- ;
if (ty == 0) ans -- ;

/*
如果要顺便求出最小的
*/

求非负整数解中 \(x\) 或 \(y\) 的最大值和最小值是多少

我们可以直接算出来 \(cnt = \lfloor x \div \lfloor \frac b d \rfloor \rfloor + \lfloor y \div \lfloor \frac a d \rfloor \rfloor\)，其中 \(cnt\) 中有 \(\lfloor x \div \lfloor \frac b d \rfloor \rfloor\) 属于 \(x\)，有 \(\lfloor y \div \lfloor \frac a d \rfloor \rfloor\) 属于 \(y\)。因此要算出最小非负解，就直接减去对应 \(cnt\) 的通解即可，即：

\[\begin{aligned} x &= x - \lfloor x \div \lfloor \frac b d \rfloor \rfloor \times \lfloor \frac b d \rfloor \rfloor\\ y &= y - \lfloor y \div \lfloor \frac a d \rfloor \rfloor \times \lfloor \frac a d \rfloor \rfloor \end{aligned} \]

也就是：

\[\begin{aligned} x &= x \bmod \lfloor \frac b d \rfloor \\ y &= y \bmod \lfloor \frac a d \rfloor \end{aligned} \]

要算出最大值，就加上它没有的那部分 \(cnt\) 即可，即：

\[\begin{aligned} x &= x + \lfloor y \div \lfloor \frac a d \rfloor \rfloor \times \lfloor \frac b d \rfloor \rfloor \\ y &= y + \lfloor x \div \lfloor \frac b d \rfloor \rfloor \times \lfloor \frac a d \rfloor \rfloor \end{aligned} \]

求正整数解中 \(x\) 或 \(y\) 的最大值和最小值各是多少

对于正整数解来说，最小值的求法和求一个正整数解的方法一样。而对于最大值，就等于最大的非负整数解。

求解三元一次方程

求解三元一次方程

例题：D-斩杀线计算大师_牛客练习赛60
Problem - A - Codeforces
重新整理一下扩欧。
扩展欧几里得就是欧几里得算法也就是辗转相除法的扩展应用，扩展后的作用主要为求二元一次方程组的一个解。（通常我们会用 exgcd 求逆元，在逆元存在的情况下，详细见最下面——求逆元） 。

基本原理

众所周知，一个式子是无法确定两个未知数的唯一值的，因此 exgcd 只能解出一种符合要求的解，但是因为有通解的存在，你可以由这个解推出其他所有的可能解。（通解详见文章 exgcd 通解（新））

先看看扩展的地方，欧几里得的原理是 \(\gcd(a,b) = \gcd(b, a\bmod b)\)，设 \(\gcd(a, b) = d\) 我们可以到一个式子 \(ax + by = d\)（来自裴蜀定理），根据辗转相除法的原理，我们会不断将 \(a,b\) 辗转相除，直到一个数为 \(0\)（设这个数为 \(b'\)），但此时上面的式子依旧成立，即 \(a'x' + 0 \times y' = d\)，也就是 \(a'x' = d\)，根据辗转相除法的原理，此时 \(a'\) 就是求得的最大公约数。此时我们就可以知道，\(a'x' = d\) 中的 \(x'\) 应该为 \(1\)，而 \(y'\) 可以为任意数（\(0\) 乘任何数都是 \(0\)，一般取 \(0\)）。现在，你已经求出了一个符合的 \(x',y'\)，而这个值我们可以回代，就可以求出最初 \(ax + by = d\) 中的 \(x,y\)。

该怎么回代呢，这里比较抽象，我们想一想，辗转完一次后的 \(a',b'\) 分别等于多少呢？看看辗转相除法的代码。

int gcd(int a, int b)
{
	return b ? a : gcd(b, a % b);
}

可以发现我们向下传的 \(a',b'\) 其实就是 \(b,a \bmod b\)。那么我们等式 \(a'x' + b'y' = d\) 就变为了，\(bx' + (a \bmod b)y' = d\)，我们也知道 \(a \bmod b = a - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor \times b\)，那么式子就可以进一步化为

\[bx' + ay' - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor \times by' = d \]

整理可得

\[ay' + b(x' - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor y') = d \]

而我们之前的式子有

\[ax + by = d \]

这就产生对应关系了，如果我们知道一种 \(x',y'\) 的值，就可以求出一种 \(x,y\) 的值，对应关系即为

\[\begin{aligned} x &= y' \\ y &= x' - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor y' \end{aligned} \]

还记得上面说的，我们可以求出最后一个 \(x',y'\) 的值吗，既然有了关系，那么就可以回代了。

代码实现

然后就是代码中的实现方式，为了把后面的 \(x',y'\) 传上来，我们需要用取址，在最后还要特判 \(b = 0\) 时，把此时的 \(x,y\) 赋值。对于之前的 \(x,y\) 我们就根据关系来求出即可，而这一步，就是本文重点。

我们可以写出如下代码

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
    {
        if (b == 0)
        {
            x = 1;
            y = 0;
            return a;
        }
        int d = exgcd(b, a % b, x, y);
        int tx = x, ty = y; // 即x',y'
        y = tx - a / b * ty;
        x = ty;
        return d;
    }

但实际上代码还可以精简，因为是用传址带回来的 \(x',y'\)，在当前 \(x,y\) 还没更新时，有 \(x = x'\) 和 \(y = y'\)，这样的关系，因此可以直接用 \(x,y\) 代替代码中 \(tx,ty\)，则有新代码

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
	if (b == 0)
	{
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	int d = exgcd(b, a % b, x, y);
	int t = y;
	y = x - a / b * t;
	x = t;
	return d;
}

但这还不是我们最常用的，众所周知，辗转相除法在代码实现上为了让 \(a,b\) 互换位置辗转相除，在递归上是 gcd(b, a % b)，而不是 gcd(a % b, b)。这里我们可以借鉴思想，把扩展欧几里得里面的 \(x,y\) 在递归下一层时换位。这样有什么好处？此时

\[x = y',y = x' \]

在求出当前 \(x,y\) 时就变成了

\[\begin{aligned} x &= y' = x \\ y &= x' - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor y' = y - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor x \end{aligned} \]

你会发现，\(x\) 我直接不用变了，而 \(y\) 我直接自减即可，不用定义新变量，更简洁，于是得到了代码

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
	if (b == 0)
	{
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	int d = exgcd(b, a % b, y, x);
	y -= a / b * x;
	return d;
}

而这就是我们最常用的扩展欧几里得代码。

求逆元

什么是逆元, 逆元就是形如 \(ax \equiv 1 \pmod p\) 其中 \(x\) 就叫做 \(a\) 对于 \(p\) 的一个逆元。相对的 \(a\) 就是 \(x\) 关于 \(p\) 的一个逆元。需要注意一点，逆元仅在所求数 \(a\) 与模数 \(p\) 互质时存在，同理可得 \(x\) 和 \(p\) 也互质（相对逆元）。

反证法：假如 \(a\) 和 \(b\) 不互质，因为有 \(ax \equiv 1 \pmod b\)，所以说有 \(ax + by = 1\)，设 \(d = \gcd(a,b) \not = 1\) 因为 \(a,b\) 不互质，所以存在 \(a = a'd, b = b'd\)， 所以存在 \(a' + b' = \frac{1}{d}\)，又因为 \(a',b'\) 都是整数，\(\frac{1}{d}\) 为小数，因此 \(a' + b'\) 不可能等于 \(\frac{1}{d}\)，因此 \(a' + b' = \frac{1}{d}\) 不可能成立，所以说 a,b 不可能不互质，即 \(a,b\) 一定互质。我们也可以推出，如果有形如 \(ax + by = 1\) 这类式子，\(a,b\) 一定互质，同理 \(x,y\)、\(a,y\)、\(b,x\) 这三组也一定两两互质互质。

知道了定义 \(ax \equiv 1 \pmod p\) 这个式子我们可以把他展开，变成 \(a * x + p * y = 1,(y \in \mathbb Z)\)
这个式子形如 \(ax + by = d\) （因为 \(a,p\) 互质，所以 \(d = 1\)），所以这个式子可以用 exgcd 求出里面的 \(x\)。

只要逆元存在，我们就可以使用 exgcd 将其求出。

注意：逆元不止一个，因为 exgcd 存在多解，所以逆元自然也就存在多个，如：\(a = 3,\; p = 4\) 此时逆元可以为 \(3,7, 11, 15,\dots\) 等等，所以逆元不只有一个。

补充

求逆元还有一种方法, 也是一种特殊的情况，当且仅当 \(p\) 为质数且 \((a, p) = 1\) 这时候它满足费马小定理 ：如果 \(p\) 是一个质数，而整数 \(a\) 不是 \(p\) 的倍数，也就是当且仅当 \(p\) 为质数且 \((a, p) = 1\)，则有 \(a ^ {p - 1} ≡ 1 \pmod p\) 。

这时候 \(x\) 也就是 \(a\) 的逆元就是 \(a ^ {p - 2}\)，而这个东西可以通过快速幂求解，这就是逆元的特殊求法。

应用

在阅读这里之前，请保证已经读完了 [[exgcd 通解（新）]]。

求解二元一次方程

先给与一个例题：P5656 【模板】二元一次不定方程 (exgcd) - 洛谷 做完这题，下面的也就应该会了。

求解二元一次方程一般也就涉及到这几个问题：

1. 是否有整数解。
2. 怎么求一个非负整数解。
3. 有几个非负整数解。
4. 怎么求一个正整数解。（正整数解即 \(x,y\) 均为正整数）
5. 有几个正整数解。
6. 非负整数解中的 \(x\) 或 \(y\) 的最大值和最小值各是多少。
7. 正整数解中 \(x\) 或 \(y\) 的最大值和最小值各是多少。

对于 \(a,b,d = \gcd(a, b)\) 有：

\[ ax + by = d \tag 1 \]

我们设有一个二元一次方程为：

\[ax_0 + by_0 = k \tag 2 \]

判断是否有整数解

对于整数解的判断，由裴蜀定理可得，如果 \(d | k\) 则说明有整数解。

证明

\(ax + by = \gcd(a, b)\) 是 \(a,b\) 能够形成的最基本的等式，\(a,b\) 形成的其他等式都是从这个放大（或者变化）而来。

反证法：假设存在 \(ax' + by' = k\) 使得 \(k < \gcd(a,b) = d\)，因为 \(d|a,\;d|b\)，所以 \(a = k_1d,\; b =k_2d\)，所以有 \(k_1x' + k_2y' = k/d\)，又因为 \(k < d\)，所以 \(k/d\) 一定是一个小数，而 \(k_1,\; k_2,\; x',\; y'\) 都是整数，因此 \(k_1x' + k_2y' \not= k/d\)，与假设矛盾。因此不存在 \(ax' + by' = k\) 使得 \(k < \gcd(a,b) = d\)，即：\(ax + by = \gcd(a, b)\) 是 \(a,b\) 能够形成的最基本的等式，命题得证。

这个也说明了 \(\gcd(a,b)\) 的基本性质。即等式只能由 \(ax + by = \gcd(a, b)\) 扩大而来，而不能缩小。而且因为 \(x,y\) 是不断变化的，所以如果式子要扩大，就必须扩大整数倍。

综上，我们可以推出，凡是形如 \(ax' + by' = k\) 的等式，\(k\) 一定能被 \(\gcd(a,b)\) 整除，否则等式不能成立。得证。

代码为：

int x, y;
int d = exgcd(a, b, x, y);

if (k % d == 0) puts("No");
else puts("Yes");

求一个非负整数解

求一个非负整数解，我们可以先求出一个整数解 x,y，然后对 \(x,y\) 中小于 \(0\) 的数加上通解，直到它非负。此时，在处理完非负后，如果 \(x,y\) 还存在负数，则说明无非负整数解。假设 \(x < 0\)，因为我们已经让 \(x\) 加上的 \(\lfloor \frac b d \rfloor\) 尽量少，然而 \(y\) 还是小于 \(0\)，说明无法得到非负整数解。

在处理添加通解的时候，假设 \(x < 0\)，设 \(cnt\) 为把 \(x\) 变为非负整数的最少 \(\lfloor \frac b d \rfloor\) 的数量，则有 \(cnt \ge (0 - x) \div \lfloor \frac b d \rfloor\)，又因为 \(cnt\) 为整数，所以 \(cnt = \lceil (0 - x) \div \lfloor \frac b d \rfloor \rceil\)。所以 \(x' = x + cnt \times (0 - x) \div \lfloor \frac b d \rfloor, \ y' = y - (0 - x) \div \lfloor \frac a d \rfloor\)。

用代码就是：

if (x < 0)
{
    LL cnt = ceil(1.0 * (0 - x) / (b / d));
    x += cnt * (b / d);
    y -= cnt * (a / d);
}
else if (y < 0)
{
    LL cnt = ceil(1.0* (0 - y) / (a / d));
    y += cnt * (a / d);
    x -= cnt * (b / d);
}

求非负整数解的数量

求非负整数解的数量，我们可以先找出一组非负整数解 ，设 \(cnt\) 为由通过 \(x,y\) 通解可以变化到的非负整数解的数量，那么 \(cnt = \lfloor x \div \lfloor \frac b d \rfloor \rfloor + \lfloor y \div \lfloor \frac a d \rfloor \rfloor\)（\(x,y\) 每加/减一个通解就可以得到新的一组解）。那么非负整数解的数量就是 \(cnt + 1\)。

代码为：

int cnt = x / (b / d) + y / (a / d);
ans = cnt + 1; // 非负整数解的数量

求一个正整数解

我们可以先求出一个非负整数解，那么此时有两种情况：

1. \(x,y\) 都不等于 \(0\)，那么此时 \(x,y\) 就是一个正整数解。
2. \(x,y\) 中有一个或全部等于 \(0\)，此时只需要给这个为 \(0\) 的数加上一个通解即可。且，这个新的 \(x,y\) 同时也是最小正整数解。注意如果在加完通解后 中存在负数，那么就没有正整数解。。

if (x < 0) // 处理非负整数解 x,y
{
    LL cnt = ceil(1.0 * (0 - x) / (b / d));
    x += cnt * (b / d);
    y -= cnt * (a / d);
}
else if (y < 0)
{
    LL cnt = ceil(1.0* (0 - y) / (a / d));
    y += cnt * (a / d);
    x -= cnt * (b / d);
}

if (x == 0) x += b / d, y -= a / d;
if (y == 0) y += a / d, x -= b / d;

求正整数解的数量

容易知道，存在 \(x = 0\) 或 \(y = 0\) 的解有且只有一个，如 \((0,y),(x,0)\) 这些每个一定只有一个。因为通解肯定会改变 \(x,y\)。注意 \(x,y\) 不可能同时等于 \(0\)，若都为 \(0\)，那么 \(a,b\) 肯定都为 \(0\)。

而我们知道，如果 \(x\) 或 \(y\) 等于 \(0\)，那么这个解就不是正整数解，因此，我们可以先求出非负整数解有多少，然后减去 \(x\) 或 \(y\) 等于 \(0\) 的解的数量，剩下的就是正整数解的数量。

代码为：

// 先求出非负整数解 x,y
int cnt = x / (b / d) + y / (a / d);
ans = cnt + 1; // 非负整数解的数量
int tx = x % (b / d), ty = y % (a / d); // 求出最小非负的x和y,注意,这个tx和ty不是同一个解里面的
if (tx == 0) ans -- ;
if (ty == 0) ans -- ;

/*
如果要顺便求出最小的
*/

求非负整数解中 \(x\) 或 \(y\) 的最大值和最小值是多少

我们可以直接算出来 \(cnt = \lfloor x \div \lfloor \frac b d \rfloor \rfloor + \lfloor y \div \lfloor \frac a d \rfloor \rfloor\)，其中 \(cnt\) 中有 \(\lfloor x \div \lfloor \frac b d \rfloor \rfloor\) 属于 \(x\)，有 \(\lfloor y \div \lfloor \frac a d \rfloor \rfloor\) 属于 \(y\)。因此要算出最小非负解，就直接减去对应 \(cnt\) 的通解即可，即：

\[\begin{aligned} x &= x - \lfloor x \div \lfloor \frac b d \rfloor \rfloor \times \lfloor \frac b d \rfloor \rfloor\\ y &= y - \lfloor y \div \lfloor \frac a d \rfloor \rfloor \times \lfloor \frac a d \rfloor \rfloor \end{aligned} \]

也就是：

\[\begin{aligned} x &= x \bmod \lfloor \frac b d \rfloor \\ y &= y \bmod \lfloor \frac a d \rfloor \end{aligned} \]

要算出最大值，就加上它没有的那部分 \(cnt\) 即可，即：

\[\begin{aligned} x &= x + \lfloor y \div \lfloor \frac a d \rfloor \rfloor \times \lfloor \frac b d \rfloor \rfloor \\ y &= y + \lfloor x \div \lfloor \frac b d \rfloor \rfloor \times \lfloor \frac a d \rfloor \rfloor \end{aligned} \]

求正整数解中 \(x\) 或 \(y\) 的最大值和最小值各是多少

对于正整数解来说，最小值的求法和求一个正整数解的方法一样。而对于最大值，就等于最大的非负整数解。

求解三元一次方程

求解三元一次方程

例题：D-斩杀线计算大师_牛客练习赛60
Problem - A - Codeforces
重新整理一下扩欧。
扩展欧几里得就是欧几里得算法也就是辗转相除法的扩展应用，扩展后的作用主要为求二元一次方程组的一个解。（通常我们会用 exgcd 求逆元，在逆元存在的情况下，详细见最下面——求逆元） 。

基本原理

众所周知，一个式子是无法确定两个未知数的唯一值的，因此 exgcd 只能解出一种符合要求的解，但是因为有通解的存在，你可以由这个解推出其他所有的可能解。（通解详见文章 exgcd 通解（新））

先看看扩展的地方，欧几里得的原理是 \(\gcd(a,b) = \gcd(b, a\bmod b)\)，设 \(\gcd(a, b) = d\) 我们可以到一个式子 \(ax + by = d\)（来自裴蜀定理），根据辗转相除法的原理，我们会不断将 \(a,b\) 辗转相除，直到一个数为 \(0\)（设这个数为 \(b'\)），但此时上面的式子依旧成立，即 \(a'x' + 0 \times y' = d\)，也就是 \(a'x' = d\)，根据辗转相除法的原理，此时 \(a'\) 就是求得的最大公约数。此时我们就可以知道，\(a'x' = d\) 中的 \(x'\) 应该为 \(1\)，而 \(y'\) 可以为任意数（\(0\) 乘任何数都是 \(0\)，一般取 \(0\)）。现在，你已经求出了一个符合的 \(x',y'\)，而这个值我们可以回代，就可以求出最初 \(ax + by = d\) 中的 \(x,y\)。

该怎么回代呢，这里比较抽象，我们想一想，辗转完一次后的 \(a',b'\) 分别等于多少呢？看看辗转相除法的代码。

int gcd(int a, int b)
{
	return b ? a : gcd(b, a % b);
}

可以发现我们向下传的 \(a',b'\) 其实就是 \(b,a \bmod b\)。那么我们等式 \(a'x' + b'y' = d\) 就变为了，\(bx' + (a \bmod b)y' = d\)，我们也知道 \(a \bmod b = a - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor \times b\)，那么式子就可以进一步化为

\[bx' + ay' - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor \times by' = d \]

整理可得

\[ay' + b(x' - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor y') = d \]

而我们之前的式子有

\[ax + by = d \]

这就产生对应关系了，如果我们知道一种 \(x',y'\) 的值，就可以求出一种 \(x,y\) 的值，对应关系即为

\[\begin{aligned} x &= y' \\ y &= x' - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor y' \end{aligned} \]

还记得上面说的，我们可以求出最后一个 \(x',y'\) 的值吗，既然有了关系，那么就可以回代了。

代码实现

然后就是代码中的实现方式，为了把后面的 \(x',y'\) 传上来，我们需要用取址，在最后还要特判 \(b = 0\) 时，把此时的 \(x,y\) 赋值。对于之前的 \(x,y\) 我们就根据关系来求出即可，而这一步，就是本文重点。

我们可以写出如下代码

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
    {
        if (b == 0)
        {
            x = 1;
            y = 0;
            return a;
        }
        int d = exgcd(b, a % b, x, y);
        int tx = x, ty = y; // 即x',y'
        y = tx - a / b * ty;
        x = ty;
        return d;
    }

但实际上代码还可以精简，因为是用传址带回来的 \(x',y'\)，在当前 \(x,y\) 还没更新时，有 \(x = x'\) 和 \(y = y'\)，这样的关系，因此可以直接用 \(x,y\) 代替代码中 \(tx,ty\)，则有新代码

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
	if (b == 0)
	{
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	int d = exgcd(b, a % b, x, y);
	int t = y;
	y = x - a / b * t;
	x = t;
	return d;
}

但这还不是我们最常用的，众所周知，辗转相除法在代码实现上为了让 \(a,b\) 互换位置辗转相除，在递归上是 gcd(b, a % b)，而不是 gcd(a % b, b)。这里我们可以借鉴思想，把扩展欧几里得里面的 \(x,y\) 在递归下一层时换位。这样有什么好处？此时

\[x = y',y = x' \]

在求出当前 \(x,y\) 时就变成了

\[\begin{aligned} x &= y' = x \\ y &= x' - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor y' = y - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor x \end{aligned} \]

你会发现，\(x\) 我直接不用变了，而 \(y\) 我直接自减即可，不用定义新变量，更简洁，于是得到了代码

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
	if (b == 0)
	{
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	int d = exgcd(b, a % b, y, x);
	y -= a / b * x;
	return d;
}

而这就是我们最常用的扩展欧几里得代码。

求逆元

什么是逆元, 逆元就是形如 \(ax \equiv 1 \pmod p\) 其中 \(x\) 就叫做 \(a\) 对于 \(p\) 的一个逆元。相对的 \(a\) 就是 \(x\) 关于 \(p\) 的一个逆元。需要注意一点，逆元仅在所求数 \(a\) 与模数 \(p\) 互质时存在，同理可得 \(x\) 和 \(p\) 也互质（相对逆元）。

反证法：假如 \(a\) 和 \(b\) 不互质，因为有 \(ax \equiv 1 \pmod b\)，所以说有 \(ax + by = 1\)，设 \(d = \gcd(a,b) \not = 1\) 因为 \(a,b\) 不互质，所以存在 \(a = a'd, b = b'd\)， 所以存在 \(a' + b' = \frac{1}{d}\)，又因为 \(a',b'\) 都是整数，\(\frac{1}{d}\) 为小数，因此 \(a' + b'\) 不可能等于 \(\frac{1}{d}\)，因此 \(a' + b' = \frac{1}{d}\) 不可能成立，所以说 a,b 不可能不互质，即 \(a,b\) 一定互质。我们也可以推出，如果有形如 \(ax + by = 1\) 这类式子，\(a,b\) 一定互质，同理 \(x,y\)、\(a,y\)、\(b,x\) 这三组也一定两两互质互质。

知道了定义 \(ax \equiv 1 \pmod p\) 这个式子我们可以把他展开，变成 \(a * x + p * y = 1,(y \in \mathbb Z)\)
这个式子形如 \(ax + by = d\) （因为 \(a,p\) 互质，所以 \(d = 1\)），所以这个式子可以用 exgcd 求出里面的 \(x\)。

只要逆元存在，我们就可以使用 exgcd 将其求出。

注意：逆元不止一个，因为 exgcd 存在多解，所以逆元自然也就存在多个，如：\(a = 3,\; p = 4\) 此时逆元可以为 \(3,7, 11, 15,\dots\) 等等，所以逆元不只有一个。

补充

求逆元还有一种方法, 也是一种特殊的情况，当且仅当 \(p\) 为质数且 \((a, p) = 1\) 这时候它满足费马小定理 ：如果 \(p\) 是一个质数，而整数 \(a\) 不是 \(p\) 的倍数，也就是当且仅当 \(p\) 为质数且 \((a, p) = 1\)，则有 \(a ^ {p - 1} ≡ 1 \pmod p\) 。

这时候 \(x\) 也就是 \(a\) 的逆元就是 \(a ^ {p - 2}\)，而这个东西可以通过快速幂求解，这就是逆元的特殊求法。

应用

在阅读这里之前，请保证已经读完了 [[exgcd 通解（新）]]。

求解二元一次方程

先给与一个例题：P5656 【模板】二元一次不定方程 (exgcd) - 洛谷 做完这题，下面的也就应该会了。

求解二元一次方程一般也就涉及到这几个问题：

1. 是否有整数解。
2. 怎么求一个非负整数解。
3. 有几个非负整数解。
4. 怎么求一个正整数解。（正整数解即 \(x,y\) 均为正整数）
5. 有几个正整数解。
6. 非负整数解中的 \(x\) 或 \(y\) 的最大值和最小值各是多少。
7. 正整数解中 \(x\) 或 \(y\) 的最大值和最小值各是多少。

对于 \(a,b,d = \gcd(a, b)\) 有：

\[ ax + by = d \tag 1 \]

我们设有一个二元一次方程为：

\[ax_0 + by_0 = k \tag 2 \]

判断是否有整数解

对于整数解的判断，由裴蜀定理可得，如果 \(d | k\) 则说明有整数解。

证明

\(ax + by = \gcd(a, b)\) 是 \(a,b\) 能够形成的最基本的等式，\(a,b\) 形成的其他等式都是从这个放大（或者变化）而来。

反证法：假设存在 \(ax' + by' = k\) 使得 \(k < \gcd(a,b) = d\)，因为 \(d|a,\;d|b\)，所以 \(a = k_1d,\; b =k_2d\)，所以有 \(k_1x' + k_2y' = k/d\)，又因为 \(k < d\)，所以 \(k/d\) 一定是一个小数，而 \(k_1,\; k_2,\; x',\; y'\) 都是整数，因此 \(k_1x' + k_2y' \not= k/d\)，与假设矛盾。因此不存在 \(ax' + by' = k\) 使得 \(k < \gcd(a,b) = d\)，即：\(ax + by = \gcd(a, b)\) 是 \(a,b\) 能够形成的最基本的等式，命题得证。

这个也说明了 \(\gcd(a,b)\) 的基本性质。即等式只能由 \(ax + by = \gcd(a, b)\) 扩大而来，而不能缩小。而且因为 \(x,y\) 是不断变化的，所以如果式子要扩大，就必须扩大整数倍。

综上，我们可以推出，凡是形如 \(ax' + by' = k\) 的等式，\(k\) 一定能被 \(\gcd(a,b)\) 整除，否则等式不能成立。得证。

代码为：

int x, y;
int d = exgcd(a, b, x, y);

if (k % d == 0) puts("No");
else puts("Yes");

求一个非负整数解

求一个非负整数解，我们可以先求出一个整数解 x,y，然后对 \(x,y\) 中小于 \(0\) 的数加上通解，直到它非负。此时，在处理完非负后，如果 \(x,y\) 还存在负数，则说明无非负整数解。假设 \(x < 0\)，因为我们已经让 \(x\) 加上的 \(\lfloor \frac b d \rfloor\) 尽量少，然而 \(y\) 还是小于 \(0\)，说明无法得到非负整数解。

在处理添加通解的时候，假设 \(x < 0\)，设 \(cnt\) 为把 \(x\) 变为非负整数的最少 \(\lfloor \frac b d \rfloor\) 的数量，则有 \(cnt \ge (0 - x) \div \lfloor \frac b d \rfloor\)，又因为 \(cnt\) 为整数，所以 \(cnt = \lceil (0 - x) \div \lfloor \frac b d \rfloor \rceil\)。所以 \(x' = x + cnt \times (0 - x) \div \lfloor \frac b d \rfloor, \ y' = y - (0 - x) \div \lfloor \frac a d \rfloor\)。

用代码就是：

if (x < 0)
{
    LL cnt = ceil(1.0 * (0 - x) / (b / d));
    x += cnt * (b / d);
    y -= cnt * (a / d);
}
else if (y < 0)
{
    LL cnt = ceil(1.0* (0 - y) / (a / d));
    y += cnt * (a / d);
    x -= cnt * (b / d);
}

求非负整数解的数量

求非负整数解的数量，我们可以先找出一组非负整数解 ，设 \(cnt\) 为由通过 \(x,y\) 通解可以变化到的非负整数解的数量，那么 \(cnt = \lfloor x \div \lfloor \frac b d \rfloor \rfloor + \lfloor y \div \lfloor \frac a d \rfloor \rfloor\)（\(x,y\) 每加/减一个通解就可以得到新的一组解）。那么非负整数解的数量就是 \(cnt + 1\)。

代码为：

int cnt = x / (b / d) + y / (a / d);
ans = cnt + 1; // 非负整数解的数量

求一个正整数解

我们可以先求出一个非负整数解，那么此时有两种情况：

1. \(x,y\) 都不等于 \(0\)，那么此时 \(x,y\) 就是一个正整数解。
2. \(x,y\) 中有一个或全部等于 \(0\)，此时只需要给这个为 \(0\) 的数加上一个通解即可。且，这个新的 \(x,y\) 同时也是最小正整数解。注意如果在加完通解后 中存在负数，那么就没有正整数解。。

if (x < 0) // 处理非负整数解 x,y
{
    LL cnt = ceil(1.0 * (0 - x) / (b / d));
    x += cnt * (b / d);
    y -= cnt * (a / d);
}
else if (y < 0)
{
    LL cnt = ceil(1.0* (0 - y) / (a / d));
    y += cnt * (a / d);
    x -= cnt * (b / d);
}

if (x == 0) x += b / d, y -= a / d;
if (y == 0) y += a / d, x -= b / d;

求正整数解的数量

容易知道，存在 \(x = 0\) 或 \(y = 0\) 的解有且只有一个，如 \((0,y),(x,0)\) 这些每个一定只有一个。因为通解肯定会改变 \(x,y\)。注意 \(x,y\) 不可能同时等于 \(0\)，若都为 \(0\)，那么 \(a,b\) 肯定都为 \(0\)。

而我们知道，如果 \(x\) 或 \(y\) 等于 \(0\)，那么这个解就不是正整数解，因此，我们可以先求出非负整数解有多少，然后减去 \(x\) 或 \(y\) 等于 \(0\) 的解的数量，剩下的就是正整数解的数量。

代码为：

// 先求出非负整数解 x,y
int cnt = x / (b / d) + y / (a / d);
ans = cnt + 1; // 非负整数解的数量
int tx = x % (b / d), ty = y % (a / d); // 求出最小非负的x和y,注意,这个tx和ty不是同一个解里面的
if (tx == 0) ans -- ;
if (ty == 0) ans -- ;

/*
如果要顺便求出最小的
*/

求非负整数解中 \(x\) 或 \(y\) 的最大值和最小值是多少

我们可以直接算出来 \(cnt = \lfloor x \div \lfloor \frac b d \rfloor \rfloor + \lfloor y \div \lfloor \frac a d \rfloor \rfloor\)，其中 \(cnt\) 中有 \(\lfloor x \div \lfloor \frac b d \rfloor \rfloor\) 属于 \(x\)，有 \(\lfloor y \div \lfloor \frac a d \rfloor \rfloor\) 属于 \(y\)。因此要算出最小非负解，就直接减去对应 \(cnt\) 的通解即可，即：

\[\begin{aligned} x &= x - \lfloor x \div \lfloor \frac b d \rfloor \rfloor \times \lfloor \frac b d \rfloor \rfloor\\ y &= y - \lfloor y \div \lfloor \frac a d \rfloor \rfloor \times \lfloor \frac a d \rfloor \rfloor \end{aligned} \]

也就是：

\[\begin{aligned} x &= x \bmod \lfloor \frac b d \rfloor \\ y &= y \bmod \lfloor \frac a d \rfloor \end{aligned} \]

要算出最大值，就加上它没有的那部分 \(cnt\) 即可，即：

\[\begin{aligned} x &= x + \lfloor y \div \lfloor \frac a d \rfloor \rfloor \times \lfloor \frac b d \rfloor \rfloor \\ y &= y + \lfloor x \div \lfloor \frac b d \rfloor \rfloor \times \lfloor \frac a d \rfloor \rfloor \end{aligned} \]

求正整数解中 \(x\) 或 \(y\) 的最大值和最小值各是多少

对于正整数解来说，最小值的求法和求一个正整数解的方法一样。而对于最大值，就等于最大的非负整数解。

求解三元一次方程

求解三元一次方程

例题：D-斩杀线计算大师_牛客练习赛60
Problem - A - Codeforces