exgcd 通解（新）

什么是通解，我们知道二元一次方程，是如果只有一个式子，那么解会有无数个，而通解就是指让我们只找到一个解就可以推出其他所有解的式子。

推导

注意以下变量都为整数。

知道了定义下面就是推式子了，首先设 \(x, y\) 是 \(ax + by = \gcd(a, b)\) 的一个解，那么有

\[y = \left[\gcd(a, b) - ax \right] \div b \tag 1 \]

再设一个解 \(x_0,y_0\)

\[x_0 = x + k \tag 2 \]

那么有

\[ax_0 + by_0 = \gcd(a, b) \]

所以

\[y_0 = [\gcd(a, b) - ax_0] \div b \tag{3} \]

由 \((3)\) 和 \((2)\) 得

\[y_0 = \left[\gcd(a, b) - ax - ak \right] \div b = [\gcd(a, b) - ax] \div b - \frac{a}{b} \times k \tag4 \]

由 \((4)\) 和 \((1)\) 得

\[y_0 = y - \frac{a}{b} \times k \tag 5 \]

我们要保证 \(y_0\) 是整数，且 \(y\) 又是整数, 那么 \(\frac{a}{b} \times k\) 就是整数，设 \(d = \gcd(a, b)\)
\(a = a' \times d, b = b' \times d\)，这里 \(a', b'\) 互质（如果他们不互质，\(d\) 就可以通过 \(a', b'\) 的公约数变大, 这就和我们d是最大公约数就矛盾了, 所以 \(a'\) 和 \(b'\) 互质）
此时有

\[\frac{a}{b} \times k = \frac{a'} {b'} \times k \]

因为 \(a'\) 和 \(b'\) 互质，那么 \(\frac{a'}{b'} \times k\) 要是想是整数的话，\(k\) 只能是 \(b'\) 的倍数（\(k =0\) 时整个就是
\(0\) 也是整数，依旧满足要求）不然就消不掉 \(\frac{a'}{b'}\)的分母 \(b'\) ，就会产生小数, 就不是整数了，因此

\[k = n \times b', n \in \mathbb{Z} \]

又因为

\[b' * d = b \]

所以

\[b' = b \div d \]

所以

\[k = \frac{nb}{d} \]

所以

\[x_0 = x + \frac{nb}{d} \tag6 \]

通过 \((5)\) 和 \((6)\) 可得

\[y_0 = y - \frac {na}{d} \tag7 \]

至此通解就出来了

\[\begin{aligned} x_0 &= x + \frac{b}{d} \times n \\ y_0 &= y - \frac{a}{d} \times n \end{aligned} \]

更常见的是这样的

\[\begin{aligned} x_0 &= x + k\times \frac{b}{d}，k\in \mathbb{Z} \\ y_0 &= y - k \times \frac{a}{d} \end{aligned} \]

附带最小正整数解就是

\[\begin{aligned} x & \bmod \frac{b}{d}\\ y & \bmod \frac{a}{d} \end{aligned} \]

对于代码中，因为 C++ 强大的取负模的特性，所以更准确代码形式的应该是

(x % (b/d) + b/d) % (b/d)

就相当于把所有的 \(\frac{kb}{d}\) 给删掉, 剩下的就是最小的正整数解。

另一种推导方式

我们设有另一组解 \(x_0 = x + k_1,\;y_0 = y + k_2\)，则

\[ax_0 + by_0 = d \]

即：

\[a(x + k_1) + b(y + k_2) = d \]

又因为

\[ax + by = d \]

所以

\[ak_1 + bk_2 = 0 \]

那么可以得到

\[k_1 = \frac{-bk_2}{a} \]

剩下的就和上面的证明一样了。

事实上这种证明方式更本质一点，所谓通解，就是使得 \(ak_1 + bk_2 = 0\) 而已。

补充

式子扩大

exgcd 二元一次等式，扩大后判断是否有整数解（小数解都是有的，但是小数解不符合我们要求）。注意这里的扩大，实际上是指乘上一个数，且扩大不一定增大，比如扩大 \(\frac 1 2\) 这虽然说是扩大，但实际上减小了（但是实际上缩小无解，可见[[裴蜀定理]]）。

首先 exgcd 求出的等式 \(ax + by = d\) 肯定是有整数解的，但是等式两边扩大非整数倍后就不一定了，一定得是整数倍，如果是小数比如 \(\frac12\) 就不一定对了，比如 \(6x + 2y = 2\) 合法，但是 \(6x_0 + 2y_0 = 1\) 就是无整数解情况（\(x\) 变为 \(\frac x2 = x_0\)，对于后式是求 \(x_0\)，而非 \(x\)）。\(ax + by = k\)，\(k\) 满足扩大 \(d\) 的整数倍的条件就是 \(k \equiv 0 \pmod d,\; k = nd\)，而这就是扩大判断是否有整数解的充要条件。

式子扩大后的通解

我们知道通解是 \(x = x_0 + \frac{nb}{\gcd(a, b)}\)，设 \(m = \gcd(a, b),\; t = \frac {k} {\gcd(a, b)}\)，等式扩大了，但是通解不变, 因为 \(a\) 没变，\(b\) 没变，原式为：

\[ax + by = \gcd(a, b) \]

式子两边都扩大 \(t\) 倍，则有：

\[axt + byt = k \]

我们带入通解，则：

\[a(xt + \frac{nb}m) + b(yt - \frac{na}m) = k \]

所以有：

\[axt + byt + \frac{anb}m - \frac{bna}m = k \]

也就是 $$axt + byt = k$$可以发现等式两边没变，也就说明通解依旧可行，对于其他情况，也可以这样证明通解的可行性。