【高中数学】找点
一篇关于找点的笔记。
相信看到本文的你对极限应该有一些认识，这里提到极限定义只是为了方便叙述，所以可能不是很清楚。
极限
在找点之前，先要了解无穷大与无穷小的阶，这里先从极限的 \(\varepsilon-\delta\) 语言开始简述一下。
我们常说定义 \(f(x)\) 在 \(a\) 处的极限是 \(l\)，也即 \(\underset{x \to a}{\lim} f(x) = l\)，也就是当 \(x\) 趋近于 \(a\) 时 \(f(x)\) 趋近于 \(l\)。但“趋近“这种说法非常的不幸福，能不能用更加符号化的语言说明呢？
不妨先从一个简单的例子看起：\(f(x) = 2x + 1\)，我们要描述当 \(x \to 1\) 时 \(f(x) \to 3\)。
先弱化一些，允许一些误差。假设允许误差小于 \(0.01\)，即：
也就是：
这里 \(0.01\) 为设定的误差范围，而 \(0.005\) 是自变量需要控制的范围。将 \(0.01\) 换为 \(\varepsilon\)，\(0.005\) 换为 \(\delta\)，我们便得到以下说法：对于 \(\varepsilon = 0.01\)，\(\exist \delta = 0.005\)，\(\forall x \in D\)，\(0 < |x - 1| < \delta\)，\(|f(x) - 3| < \varepsilon\)。
于是自然而然引出极限的定义。
定义函数 \(f(x)\) 在 \(a\) 处的极限是 \(l\)，也即 \(\underset{x \to a}{\lim} f(x) = l\)，是指：
激动人心，不妨来练习一下。比如 \(\underset{x \to \infty}{\lim} \frac{1}{x} = 0\)，会发现此时的 \(x \to \infty\)，有点难办。不过我们不需要拘泥于套上述公式，稍微修改一下，即：
这也叫作 \(\epsilon - M\) 语言，用 \(x\) 大于某个门槛来代替 \(x\) 与某点的距离小于 \(\delta\)。
但还没完，这里的 \(M\) 究竟应该是多少呢？不妨解一下 \(\frac{1}{x} < \varepsilon\)，得到 \(x > \frac{1}{\varepsilon}\)，于是只需令 \(M\) 为 \(\frac{1}{\varepsilon}\) 即可。
更多的例子：\(\underset{x \to \infty}{\lim} e^x = \infty\)，能够写为
\[\forall \varepsilon > 0, \exist M = \ln \varepsilon,\forall x > M, e^x > \varepsilon \]
无穷大与无穷小的阶
相信大家都会常见的极限运算，还有洛必达法则之类的高中数学常用方法。
我们知道，当 \(x\) 足够大时 \(e^x >> x^2 >> x\)，但它们在 \(x \to \infty\) 时的极限都是 \(\infty\)，也就是说，无穷之间亦有分别。比如 \(\underset{x \to \infty}{\lim}\frac{e^x}{x^2} = \infty\)。
如何判断无穷之间的“大小”呢？于是我们定义无穷大的阶。
设 \(\underset{x \to a}{\lim} f(x) = \underset{x \to a}{\lim} g(x) = \infty\)，称：
- 若 \(\underset{x \to a}{\lim} \frac{f(x)}{g(x)} = \infty\)，则称此时 \(f(x)\) 是 \(g(x)\) 的高阶无穷大。
- 若 \(\underset{x \to a}{\lim} \frac{f(x)}{g(x)} = 0\)，则称此时 \(f(x)\) 是 \(g(x)\) 的低阶无穷大。
- 若 \(\underset{x \to a}{\lim} \frac{f(x)}{g(x)} = C\)（\(C\) 为常数且 \(C > 0\)），则称此时 \(f(x)\) 是 \(g(x)\) 的同阶无穷大。
当 \(x \to \infty\) 时，无穷大的阶数从高到低为：\(e^x > x^n > \ln x\)，对于多项式函数 \(x^n(n > 1)\)，有 \(x^n > x^{n - 1} > \cdots\)。
当 \(x \to 0\) 时，无穷大阶数由高到低为：\(\frac{1}{x^n} > |\ln x|\)，对于分式函数 \(\frac{1}{x^n}\)，有 \(\frac{1}{x^n} > \frac{1}{x^{n - 1}} > \cdots\)。
举个例子，\(\underset{x \to \infty}{\lim} \frac{x^2 - 5}{x} = \infty\)，这里可以通过洛必达法则直接说明，当然也可以考虑从上述极限定义出发。
如何得出的 \(M\)？和上述定义章节提到的一样，解不等式即可。
不妨来一些更加变态的，比如证明（这里 \(a_i\) 均非负）
不要被吓到了，我们的思路与上面的部分并无区别，仍旧是解不等式。具体来说，需要解决
这里为了方便，就写作 \(M\) 了。乍一看没什么思路，不妨探寻本质。我们的目标是找到合适的 \(M\)，也就是说我们需要的并不是充要条件。
于是考虑进行放缩，不妨假定 \(x > 1\)，那么有
这样就能够轻松得到一个范围了。
如果你觉得一头雾水，这很正常，下面会继续探讨。
找点
有了一些前置铺垫，我们终于可以开始找点了。不妨以这么一道题开始。
已知函数 \(f(x)=\frac{1}{3}x^3-a(x^2+x+1)\)。证明：\(f(x)\) 只有一个零点。
先进行一些推导，原函数为 \(0\) 也就是 \(g(x) = \frac{\frac{1}{3}x^3}{x^2 + x + 1} - a = 0\)。
求个导，容易发现 \(g'(x) \geq 0\)，且仅在 \(x = 0\) 处取 \(0\)，也就是说 \(g(x)\) 单调递增。由于 \(g\) 连续，根据上面说的无穷大的阶，有 \(g(x)\) 在 \(x \to \infty\) 与 \(x \to -\infty\) 的极限分别为 \(\infty\) 与 \(-\infty\)，于是就很容易说明了 \(f(x)\) 只有一个零点。
真的结束了吗？事实上，如果希望把上述论证写成只依赖高中知识的形式，就需要找到两个具体点，使它们的函数值分别为正和负。
不妨先考虑 \(< 0\) 的情况，也就是
我们的目标是找到一个 \(x = m\) 的位置满足上述条件，这与我们在无穷大与无穷小的阶一节提到的最后一道例题不谋而合，我们直接放缩，不妨设 \(x < -1\)，有
于是我们得到 \(x < -\max\{9|a|, 1\}\)，找点成功。
另一部分的找点与这一部分类似，不多赘述。
回看以上放缩，由于 \(\frac{1}{3}x^3\) 是阶最大的一项，所以我们保留它。同时，我们为了得到一个好解的不等式，选择了将 \(3,2,1,0\) 的次数放到 \(3, 2, 2, 2\)，同时将不知道正负的减法放缩为加上了一个正的东西，也就是绝对值。
于是，我们得到找点的重要流程：
- 找到主导项
- 判断主导项的成分
- 放缩非主导项
而在具体实践中，我们将非主导项放缩为阶数最大的极限值为无穷的非主导项。
一个更加复杂的例子，下设 \(x > 1\)：
与先前的放缩本质相同。
这就是找点的全部了吗？
来看另一道的例题。
已知函数 \(f(x) = ae^{2x} + (a - 2)e^x - x\)，若 \(f(x)\) 有两个零点，求 \(a\) 的取值范围。
先求导 \(f'(x) = (2e^x + 1)(ae^x - 1)\)，显然 \(a > 0\)，此时 \(f\) 在 \((-\infty, \ln(\frac{1}{a}))\) 单调递减，在 \((\ln(\frac{1}{a}),\infty)\) 单调递增。
那么 \(f(x)\) 有两个零点的一个必要条件是 \(f(\ln(\frac{1}{a})) < 0\)，解得 \(a \in (0, 1)\)。
只需验证充分性，也就是在 \(\ln(\frac{1}{a})\) 左侧和右侧都找到一个 \(f(x) > 0\)。
先考虑 \(x \to \infty\) 的时候，会发现此时事情变得复杂了起来。首先主导项肯定是 \(ae^{2x}\) 且此项恒正，但后面的 \((a - 2)e^x\) 与 \(-x\) 均是负项。
对于与主导项符号相反的项，我们的解决方式是：
- 有多个阶 \(\to\) 除主导项外最高阶
- 有符号影响 \(\to\) 加绝对值
- 非无穷的函数 \(\to\) 有限值
根据第一条，我们将 \(x\) 往 \(e^x\) 上放，由于 \(e^x > x\)，所以 \(-x > -e^x\)，那么：
于是 \(x > \ln(\frac{3 - a}{a})\)。
趁热打铁，考虑一下 \(x \to -\infty\) 的情况。你会发现，此时 \(ae^{2x}\) 与 \((a - 2)e^x\) 与无穷大根本没关系，主导项变成了 \(-x\)，十分令人匪夷所思。但也只能按照我们的方法继续处理。
首先 \(ae^{2x}\) 恒正，也就是说是与主导项符号相同的非主导项可以直接被无视。
而对于 \((a - 2)e^x\)，它恒负，与主导项符号相反，此时按照第三条，将其放为有限值。
什么意思呢？不妨令 \(x < 0\)，由于 \(e^x < 1\)，所以 \((a - 2)e^x > a - 2\)，也就是说 \((a - 2)e^x\) 有一个较为清晰的下界。
完整的放缩过程为
于是得到 \(x < a - 2\)，找点成功。
通过上述两道例题，读者应该对找点有了一些认知。下面将上述方法再次归纳。
主干流程：
- 找到主导项
- 判断主导项的成分
- 放缩非主导项
对于与主导项符号相同的非主导项：无视它！
对于与主导项符号不同的非主导项：
- 有多个阶 \(\to\) 除主导项外最高阶
- 有符号影响 \(\to\) 加绝对值
- 非无穷的函数 \(\to\) 有限值
amazing！你学会了找点！
最后再来一道例题。
已知函数 \(f(x)=\ln(1+x)-x+\frac12x^2-kx^3\),其中 \(0<k<\frac13\)。
证明：\(f(x)\) 在区间 \((0,+\infty)\) 存在唯一的极值点和唯一的零点。
求导，然后通分，有 \(f'(x) = \frac{x^2(1 - 3k(x + 1))}{x + 1}\)，正负性只与括号内有关，显然有唯一极值点，且 \(f(x)\) 先增后减。
注意到 \(f(0) = 0\)，于是只需要在 \(x > 0\) 的范围内找 \(< 0\) 的点即可。
这里有聪明的办法和不那么聪明的办法。
首先可以按照标准方法，\(-kx^3\) 为主导项，且为负。那么 \(-x\) 符号相同可以扔掉，剩余的 \(\ln(x + 1)\) 放为最高阶 \(\frac{1}{2}x^2\) 即可（设 \(x > 1\)，\(\ln(x + 1) < x < x^2\)）。
结束。
更聪明的方法是：注意到 \(\ln(x + 1) - x < 0\)，所以直接有：
十分简单。
结尾
到此，这篇文章结束，算是一点个人的小记录吧，后续可能还会选一些觉得比较有意思的小专题写一些。
致谢名单：drifter_飘零。
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