概率与期望乱做

奖池还会继续累加

P1654 OSU!

考虑记录 \(a_i\) 位前 \(i\) 位且第 \(i\) 位为 \(1\) 的连续 \(1\) 长度的期望，注意这里对于诸如 \(1101\) 的贡献为 \(1\)。

那么有 \(a_i = (a_{i - 1} + 1) \times p_i\)。

同样我们记录 \(b_i\) 表示平方，\(c_i\) 表示立方。

那么有 \(b_i = (b_{i - 1} + 2\times a_{i - 1} + 1) \times p_i\), \(c_i = ({c_{i - 1} + 3 * b_{i - 1} + 3 * a_{i - 1} + 1}) \times p_i\)。

但会发现此时的 \(c_i\) 不能作为答案，我们把 \(c_i\) 的递推式改为 \(c_i = ({c_{i - 1} + 3 * b_{i - 1} + 3 * a_{i - 1} + 1}) \times p_i + c_{i - 1} \times (1 - p_i)\) 就变成总和了。

P4316 绿豆蛙的归宿

期望公式：\(E(ax + by) = aE(X) + bE(y)\)

令 \(f[u]\) 表示 \(u\) 到 \(n\) 的期望长度。

则 \(f[u] = \frac{1}{k}\sum_{v\in son(u)}(w[u][v] + f[v])\)，其中 \(w[u][v]\) 指 \(u\) 到 \(v\) 的距离

初值 \(f[n] = 0\)，可拓扑，也可记忆化。

UVA12369 Cards

\(f[a][b][c][d][x][y]\)：\(a\) 张 \(1\)，\(b\) 张 \(2\)，\(c\) 张 \(3\)，\(d\) 张 \(4\)，小王代表第 \(x\) 种花色，大王代表第 \(y\) 种花色。（\(x = 0\) 代表还没有使用）

转移：$ f[a][b][c][d][x][y] <- \left{\begin{matrix}
\ \frac{13 - a}{54 - sum}(f[a + 1][b][c][d][x][y] + 1) \ \ \ \ \ a < 13
\ \frac{13 - b}{54 - sum}(f[a][b + 1][c][d][x][y] + 1) \ \ \ \ \ b < 13
\ \frac{13 - c}{54 - sum}(f[a][b][c + 1][d][x][y] + 1) \ \ \ \ \ c < 13
\ \frac{13 - d}{54 - sum}(f[a][b][c][d + 1][x][y] + 1) \ \ \ \ \ d < 13
\ \underset{i\in{0, 3}}\min(f[a][b][c][d][i][y]) + 1 \ \ \ \ \ x = 4
\ \underset{i\in{0, 3}}\min(f[a][b][c][d][x][i]) + 1 \ \ \ \ \ y = 4
\end{matrix}\right.$

记得记忆化。

double dp(int a, int b, int c, int d, int x, int y) {
    if (a > 13 || b > 13 || c > 13 || d > 13) return INF;
    double &v = f[a][b][c][d][x][y];
    if (v >= 0) return v;
    int sum = a + b + c + d + (x != 4) + (y != 4);
    int sa = a + (x == 0) + (y == 0), sb = b + (x == 1) + (y == 1);
    int sc = c + (x == 2) + (y == 2), sd = d + (x == 3) + (y == 3);
    int rest = 54 - sum;
    if (sa >= A && sb >= B && sc >= C && sd >= D) return v = 0;
    if (rest <= 0) return v = INF;
    v = 1;
    if (a < 13) v += (13.0 - a) / rest * dp(a + 1, b, c, d, x, y);
    if (b < 13) v += (13.0 - b) / rest * dp(a, b + 1, c, d, x, y);
    if (c < 13) v += (13.0 - c) / rest * dp(a, b, c + 1, d, x, y);
    if (d < 13) v += (13.0 - d) / rest * dp(a, b, c, d + 1, x, y);
    if (x == 4) {
        double t = INF;
        for (int i = 0; i < 4; i ++) t = min(t, 1.0 / rest * dp(a, b, c, d, i, y));
        v += t;
    }
    if (y == 4) {
        double t = INF;
        for (int i = 0; i < 4; i ++) t = min(t, 1.0 / rest * dp(a, b, c, d, x, i));
        v += t;
    }
    return v;
}

CF24D

\(f[i][j]\) : 从 \((i, j)\) 走到第 \(n\) 行的期望步数

转移：

1. \(j = 1\) 时，\(f[i][j] = \frac{1}{3}(f[i][j] + f[i][j + 1] + f[i + 1][j])\)
2. \(j = 2 \sim m - 1\) 时，\(f[i][j] = \frac{1}{4}(f[i][j - 1] + f[i][j] + f[i][j + 1] + f[i + 1][j])\)
3. \(j == m\) 时，\(f[i][j] = \frac{1}{3}(f[i][j - 1] + f[i][j] + f[i + 1][j])\)

悲伤的是这个方程显然有后效性，但我们可以移项一下进行高斯消元。

我们发现系数矩阵是这个样子的。

\(\begin{bmatrix} & x & x & 0 & 0 & 0 & ... & 0 & \ \ \ \ \ \ x & \\ & x & x & x & 0 & 0 & ... & 0 & \ \ \ \ \ \ x & \\ &...& \\ & 0 & 0 & ... & 0 & x & x & x & \ \ \ \ \ \ x & \\ & 0 & 0 & ... & 0 & 0 & x & x & \ \ \ \ \ \ x & \end{bmatrix}\)

先消成

\(\begin{bmatrix} & x & x & 0 & 0 & 0 & ... & 0 & \ \ \ \ \ \ x & \\ & 0 & x & x & 0 & 0 & ... & 0 & \ \ \ \ \ \ x & \\ &...& \\ & 0 & 0 & ... & 0 & 0 & x & x & \ \ \ \ \ \ x & \\ & 0 & 0 & ... & 0 & 0 & 0 & x & \ \ \ \ \ \ x & \end{bmatrix}\)

再消成

\(\begin{bmatrix} & x & 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 & \ \ \ \ \ \ x & \\ & 0 & x & 0 & 0 & 0 & ... & 0 & \ \ \ \ \ \ x & \\ &...& \\ & 0 & 0 & ... & 0 & 0 & x & 0 & \ \ \ \ \ \ x & \\ & 0 & 0 & ... & 0 & 0 & 0 & x & \ \ \ \ \ \ x & \end{bmatrix}\)

就做完了。这样高斯消元复杂度是 \(O(m)\)，然后每行消一次即可。

注意当 \(m = 1\) 时直接输出 \(2(n - x)\)。

Submission #302701523 - Codeforces