随笔分类 - 数学相关-组合数学
摘要：[SDOI2017]遗忘的集合(多项式ln+生成函数+莫比乌斯反演) 题面 略 分析 设$a_i=[i \in S]$,那么元素$i$的生成函数为$(\frac{1}{1-xi})$,答案的生成函数为$f(x)=\prod_{i \geq 1}(\frac{1}{1-xi})$. 现在题目已经给出了
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摘要：[LuoguP4841]城市规划(多项式ln+生成函数) 题面 求$n$个顶点的有标号连通简单无向图的个数(简单指的是无重边自环)。(\(n \leq 10^5\)) 分析 $n$个点的简单无向图有$2^{\binom{2}}$个,设G是所有无向图,那么G的EGF为 \(G(x)=\sum_{n=0
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摘要：二项式反演学习笔记 二项式反演(Binomial Inversion)是一种反演,它基于容斥原理.它可以把计数问题中求解"恰好X个的方案数"转化为求解"至少X个的方案数",让问题变得更简单。 约定: $C_nm$表示从$n$个数里选$m$个数的方案数,等价于$\binom$.另外为了方便推式子,规定
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摘要：[LuoguP4859]P4859 已经没有什么好害怕的了(二项式反演) 题面 已经使 Madoka 有签订契约，和自己一起战斗的想法后，Mami 忽然感到自己不再是孤单一人了呢。 于是，之前的谨慎的战斗作风也消失了，在对 Charlotte 的傀儡使用终曲——Tiro Finale 后，Mami
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摘要：[NOIOnline2提高组]游戏(二项式反演+树形背包).md 题面 略 分析 二项式反演的套路,设$f(i)$为非平局回合数至少为$i$的情况. $g(i)$为非平局回合数恰好为$i$的情况,则$f(i)=\sum_{j=i}^m C_j^i g(j)$.(这里的"至少"指的是我们"钦定"有$i
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摘要：[BZOJ2839] 集合计数(二项式反演) 题面 一个有N个元素的集合有$2N$个不同子集（包含空集），现在要在这$2N$个集合中取出若干集合（至少一个），使得 它们的交集的元素个数为K，求取法的方案数，答案模1000000007。 分析 二项式反演套路题。把恰好转化为最少。 设$f_i$表示交集
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摘要：[LuoguP6144][USACO20FEB]Help Yourself P(DP+组合数学+线段树) 题面 Bessie 现在有 N条在一条数轴上的线段，第 i条线段覆盖了 $ "l_i,r_i" $的所有实数。定义一个线段集合的并为所有至少被一条线段覆盖的实数。定义一个线段集合的复杂度为该集合
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摘要：[Codeforces 1295D]Same GCDs(欧拉函数+分解质因数) 题面 已知正整数$a,m$,求有多少个正整数$x$满足$0 \leq x 法二(欧拉函数): 根据辗转相除法 $$\begin{aligned}\sum_{x = 0}^{m 1} [\gcd(a, m) = \gcd(
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摘要：[Codeforces 1295F]Good Contest(DP+组合数学) 题面 有一个长度为$n$的整数序列,第$i$个数的值在$[l_i,r_i]$中随机产生。问这个序列是一个不上升序列的概率(模$998244353$意义下)。 $n \leq 50,l_i,r_i \leq 9982443
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摘要：[Codeforces 266E]More Queries to Array...(线段树+二项式定理) 题面 维护一个长度为$n$的序列$a$，$m$个操作 1. 区间赋值为$x$ 2. 查询$\sum_{i=l}^r a_i(i l+1)^k \mod 10^9+7$ $n,m \leq 10^
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摘要：[luogu 3175] [HAOI2015]按位或 题面 刚开始你有一个数字0，每一秒钟你会随机选择一个[0,2^n 1]的数字，与你手上的数字进行按位或运算。问期望多少秒后，你手上的数字变成2^n 1。 分析 前置知识:min max容斥 记$\max(S)$为集合$S$中的最大值,$\min(
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摘要：[BZOJ5306] [HAOI2018]染色(容斥原理+NTT) 题面 一个长度为 n的序列, 每个位置都可以被染成 m种颜色中的某一种. 如果n个位置中恰好出现了 S次的颜色有 K种, 则小 C 会产生 $W_k$的愉悦度. 求对于所有可能的染色方案, 他能获得的愉悦度的和。答案对 100453
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摘要：[BZOJ 3456]城市规划(cdq分治+FFT) 题面 求有标号n个点无向连通图数目. 分析 设$f(i)$表示$i$个点组成的无向连通图数量,$g(i)$表示$i$个点的图的数量。 显然$g(i)=2^{C_i^2}$种，但是我们要把不联通的去掉。 枚举1号点所在联通块大小$j$.从剩下$i
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摘要：[BZOJ 3771] Triple(FFT+生成函数) 题面 给出 n个物品，价值为别为$w_i$且各不相同，现在可以取1个、2个或3个，问每种价值和有几种情况？ 分析 这种计数问题容易想到生成函数。 设生成函数$A(x)=\sum_{i=1}^{n} x^{w_i}$，指数为价值，系数为选的方案
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摘要：[多校联考2019(Round 5)]青青草原的表彰大会(dp+组合数学) 题面 青青草原上有n 只羊，他们聚集在包包大人的家里，举办一年一度的表彰大会，在这次的表彰大会中，包包大人让羊们按自己的贡献从小到大排成一排，以便于发放奖金。每只羊都会得到数值在 1~m 的奖金，并且第 i 只羊的奖金应为第
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摘要：[luogu5339] [TJOI2019]唱、跳、rap和篮球(容斥原理+组合数学)(不用NTT) 题面 略 分析 首先考虑容斥，求出有i堆人讨论的方案。 可以用捆绑法，把每堆4个人捆绑成一组，其他人每个人一组。这样一共有$n 3i$组(这些组可以被看成相同的点)。 我们从中选出n 4i个点，这些
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摘要：用生成函数推导数列的通项公式(重制版) 约定: \([p(x)]=\begin{cases}1 ,p(x)\text{为真}\\0,p(x)\text{为假} \end{cases}\) $f^n(x)\(表示\)(f(x))^n$ $f^{(n)}(x)$表示$f(x)$的$n$阶导数,一阶和二阶
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摘要：[Codeforces722E] Research Rover （dp+组合数学） 题面 给出一个N M的方格阵，从(1,1)出发，到(N,M)结束，从(x,y)只能走到(x+1,y)或(x,y+1)。方格阵上还有K个特殊点，初始时给出的分数t每经过一个特殊点就会变成$[\frac{t}{2}]$。
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摘要：[Codeforces 997C]Sky Full of Stars(排列组合+容斥原理) 题面 用3种颜色对$n×n$的格子染色，问至少有一行或一列只有一种颜色的方案数。$(n≤10^6)$ 分析 显然任意染色的方案数为$3^{n^2}$,我们考虑求出没有一行一列只有一种颜色的方案数，然后相减。
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摘要：[HDU 3625]Examining the Rooms (第一类斯特林数) 题面 有n个房间，每个房间有一个钥匙，钥匙等概率的出现在n个房间内，每个房间中只会出现且仅出现一个钥匙。你能炸开门k次，问你能进入所有房间的概率。特殊要求：不能炸1号房间的门。 T组询问 T include includ
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