线性代数笔记16——图和网络
图（Graph）是离散数学中的一种常见数据结构，由节点和边组成，如果边有方向，就是有向图。下图是一个有4个节点5条边的有向图：
这个图（Graph）可以表示电网、网络或建筑物通道的数学模型。
关联矩阵
可以通过一个矩阵来解析有向图，这个矩阵称为关联矩阵（Incidence Matrix）。4个节点5条边的图用一个5×4的矩阵表示，用正负表示边的方向，矩阵的一行相当于图的一条边，矩阵的一列对应图的一个节点：
以A的第一行为例，它对应图的第一条边e1，e1的方向是从n1指向n2，与n3和n4无关。如果将A中的-1全部改为1，就变成了无向图。
A的前三行对应了三边e1,e2,e3，它们构成了图中的一个回路。对于一个图来说，回路的数量和位置至关重要。把回路单独拿出来看：
问题之一是：这三行相互独立吗？或者说它们是否是线性无关的？
似乎很容易看出，第3行可以由第1行和第2行相加得到，这说明回路对应的行是线性相关的。从图上看，从n1到n3可以n1→n3，也可以n1→n2→n3，所以说n1→n3是“多余”的，它可以由“绕行”代替。
存储大型关联矩阵
如果用关联矩阵描述一个大型图，你会发现矩阵中的0非常多，这个矩阵是一个稀疏矩阵。用计算机存储这个矩阵时，应当考虑是否应该用邻接表代替二维数组，同时也可以使用一维数组代替二维数组。
邻接表是一种常用的数据结构，它是一个存储了链表的一维数组。
还是这个图，现在不考虑方向，用一维数组描述：
L[4]是有4个节点的数组（假设数组下标从1开始，和Matlab一样），初始元素都为0，这样构造数组：
n1与n2联通，将L[1]与L[2]赋予n2的序号，L = [2,2,0,0]；
n2与n3联通，将L[2]和与L[2]相连的所有节点都赋予n3的序号，L = [3,3,3,0]；
n3与n4联通，将L[3]和与L[4]相连的所有节点都赋予n4的序号，L = [4,4,4,4]。
对于回路不必重新负值：
n1与n4联通，但是它们之间已经有回路了，L[1] == L[4]；
n1与n3联通，它们之间同样有回路，L[1] == L[3]。
最终，L = [4,4,4,4]，判断两点np与nq是否联通，只需要判断if L[p] == L[q]即可。
关联矩阵的零空间
如果A的零空间是零向量，则意味着Ax = 0有唯一解，此时A应当是方阵，A的行最简阶梯矩阵是单位矩阵，A的各列线性无关。
A不是方阵，所以x没有唯一解。这很容易验证，Ax = 0中，x有4个分量，方程组中有5个方程，但只有4个未知数，所以方程有无数解。
只要x1 = x2 = x3 = x4，就满足Ax = 0。A的零空间是位于R4空间下的1维空间：
如果A是电网，xn表示每个节点的电势，则上面的N(A)意味着所有节点的电势相等，不存在电势差，因此不存在电流。如果把n4节点接地，就会产生电势差，此时相当于将x4的电势设为0：
对于Ax来说，x4 = 0意味着A的最后一列不起作用（最后一列的各个分量与0的相乘总是0）。这样，A前三列就变成线性无关，实际上A的任意三列都是线性无关，A的秩是3。
作者：我是8位的
