线性代数笔记12——列空间和零空间

零空间

  先看定义。A是m×n矩阵,x是列向量,如果存在向量集合N,满足:

 

  则称N是A的零空间。

零空间的意义

  从定义看出,零空间是方程Ax = 0的所有解的集合:

 

  A的零空间关心的是方程方程Ax = 0的解,准确地说是解所张成的空间,方程等于零向量也是零空间中“零”的含义。因为x∈Rn,零空间关心的又是x的解,所以x张成的空间也在Rn中,那么它是否是Rn的子空间呢?

  首先,0向量是方程的一组解。再假设v1,v2也都是方程的解,现在来看加法封闭性:

  v1,v2满足加法封闭性。最后验证数乘封闭性,C是任意常数:

 

  v也满足数乘封闭性,所以零空间也是Rn的子空间。既然零空间是子空间,子空间又必须包括零向量,当Ax = b,b≠0时,由于没有全零解,A一定没有零空间。

找出零空间

  我们已经知道了零空间的意义,如何找出零空间呢?

  先看一个例子:

  示例比较简单,除了全零解之外,方程组还有多组解,具体来说,如果C是任意常量,则:

 

  在R3空间中,N(A)是过原点的直线。

  再来个稍微复杂点的例子:

  只需求解方程组就可以了,方法之一是将A化为行最简阶梯矩阵:

 

  为了求解方便,我们的目标是让方程组的未知数尽量少,所以还可以进一步化简,让台角上方全为0:

 

  将行最简阶梯矩阵转换为方程组:

 

  两个方程,四个未知数,方程组有无数解,A的零空间是整个R4还是R4的其它子空间呢?回答这个问题前,还需要对方程组进一步转化:

 

  x3,x4可以是任意实数,a,b是线性无关的,所以A的零空间就是a和b张成的空间:

 

  具体来说,A的零空间是R4空间内过原点的一个平面,当然也是R4的子空间。

零空间与线性无关

  再来关注一下Ax = 0中A的性质,Am×n由n个列向量组成:

 

  如果A是线性无关的,意味着方程组只有一个全零解,或者说,这个方程的解集是A的零空间,并且这个零空间只包含零向量。此时,A应当可以化简成单位矩阵:

 

  结论是,当A是满秩方阵或列满秩的长方矩阵时,A的零空间只有零向量(仅仅是行满秩时就不一定了)。

列空间

  如果A是m×n矩阵,那么A的列空间是A中所有列向量张成的空间。A的列空间用C(A)表示:

  C(A)显然是Rm的子空间。

列空间的意义

  先召唤一个矩阵:

 

  三个向量不能构成整个R4空间,它只能构成R4的子空间。那么列空间的意义何在呢? 还是要结合方程来看,零空间关心的是Ax = 0的解;列空间关心的是,在Ax = b中,什么样的b才能让方程有解。对于任意的b,方程并不总是有解,比如下面这个:

 

  四个方程,三个未知数,方程组可能无解。从向量空间上看,三个向量无法充满整个四维空间,所以肯定有很多b不是这三个向量的线性组合。同时,这个方程组也可能是有解的,什么样的b才能使方程组有解呢?一个简单的办法是先写出x,然后根据b = Ax反推出b:

 

  可以看到,b是A的线性组合,所以b一定在A的列空间内,此时Ax = b有解;反之,如果b不在A的列空间中,意味着Ax = b无解,这就是列空间意义了。

在上面例子中,A的第三个列向量可以由前两个的线性组合表示,因此A的列空间是R4的二维子空间:

列空间的基

  我们已经理解了列空间,怎样计算列空间的基呢?先来看个例子:

 

  A的列空间可以直接写成:

 

  这样写似乎没错,但是A的四个列向量是否是线性组合呢?肯定不是,因为C(A)至多能张成R3空间,只需要三个向量就够了,所以A的四个向量中至少有一个是多余的,这就需要去掉多余的向量,求得列空间的基,这需要运用零空间的知识进行一些计算。首先将A转换为行最简阶梯矩阵,在此基础上让台角上方全为0:

  A最终化简为行最简阶梯矩阵,阶梯的台角代表主元:

   这样看来主元的个数等于矩阵的秩。在R中,1、2两列是主元所在的列,它们是线性孤立的,其它列都可以用它们的线性组合表示,这也意味着1、2列的前身——A的1、2两列是线性孤立的。因此,只要确定了主元,就可以将列空间的基用主元所在的列数表示,本例中:

示例

示例1

  看看哪些是R3的子空间?

 

  首先回顾一下子空间,子空间包括零向量,子空间内所有向量的线性组合依然在子空间内。

  1.这里描绘了向量分量间的关系是线性的,可以将其转换为方程:

 

  <a1,a2,a3>是<1,1,-1>的零空间,零空间是R3的子空间。

  2.三个分量不是线性关系了,这意味着八成不是子空间,可以随意列举几个向量。当a1 =1,a2 =1时,a3 = a1 a2 = 1,<a1,a2,a3> = <1, 1, 1>,由于子空间对数乘封闭,所以<2, 2, 2>也应该在子空间内,但此时 a3 ≠ a1a2,所以问题2的条件不能构成子空间。

  3.先将表达式化简:

 

  <a1,a2,a3>是<1, 0, -1>和<1, 0, 1>的线性组合,是子空间。

  4. 还是先将表达式化简:

 

  注意到第二个分量是1,是定值,无法构成零向量,问题4的条件不能构成子空间。

 示例2

  找出Ax=b的列空间。

  

  首先化简为最简行阶梯矩阵:

  主元是1、2、4列,列空间是主元所在的列:

 


 

  作者:我是8位的

  出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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posted on 2018-09-05 11:38  我是8位的  阅读(...)  评论(...编辑  收藏

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