概率笔记3——几何概型
引例
天上掉钱了！都是红色的毛爷爷！同学们拿着盆跑到操场上接钱，当然谁的盆大谁接到钱的可能性就越大。
钱落下的位置是操场上的随机位置（每个位置等可能），接到钱的概率只与盆的大小相关（与几何度量相关），与盆的形状无关，每个同学接到钱的概率是 Area(盆)/Area(操场)。这是一个几何概型。
定义与公式
几何概型是一种概率模型，在这个模型下，E的样本空间是一个可度量的几何区域（操场），且每个样本点的发生具有等可能性（每个位置接到钱的几率相当）。这里的等可能性与上一章中提到的一样，客观上当你无法确定哪个事件更易发生的时候，只好认为是等可能。
古典概型与几何概型的主要区别在于试验的结果是无限个。骰子只有6个面，所以骰子的点数是有限个；骰子的落点可以是房间地面的任意位置，所以落点有无限个。
关于几何概型的定义，还有一种教科书的说法，大概是：样本点落入样本空间Ω中的某一可度量区域A的可能性大小与A的几何度量成正比，而与A的位置，形状无关。由此得到公式：
教科书的上的概念通常很严谨，但不易理解，置于是否能记住，随便吧，知道几何概型就是天上掉钱就好。
典型问题
很多问题可以转换为几何度量，例如一个人到单位的时间可能是8:00~9:00之间的任意一个时刻（将时间转换为一维线段）；往一个方格中投一个石子，石子落在方格中任何一点上（将方格转换为二维坐标）。
示例1
甲乙二人在上午9：00 ~ 10:00间分别从AB两地出发，两人时速相等，都能够在10分钟内走完全程，那么二人相遇的几率是多少？
这是典型的几何概率，9：00 ~ 10:00间有无限多个时间，二人出发的时间点具有等可能性。以分钟为单位，把A出发的时间转换为线段：
把B出发的时间也加进来，形成二维坐标：
正方形就是样本空间Ω，其中的每一个点都代表AB出发的时间，也就是一个样本点，样本点有无数个。
A和B都是10分钟内走完全程，假设A先出发，想要相遇，B出发的时间一定在A出发后的10分钟内，设出发时间为T，则TB – TA < 10。由于B可能在A之前出发，所以加绝对值|TB – TA| < 10。将其转换为几何度量，符合条件的点全部落在绿色区域内：
示例2
示例1还有另一个马甲，一对年轻人约定9：00 ~ 10:00在某地相亲见面，如果其中一方空等10分钟就会离开，他们成功见面的几率是多少？
对比示例1：
求解过程和结果完全一致。此类问题还有轮船相遇、汽车相遇等等。
示例3
A、B两盏路灯之间间隔30米，有关部门想在A、B间新添两盏相同的路灯C和D，A、C与B、D间隔都不小于10米的概率是多少？
A、B间的任意位置都可以放置路灯，设AC=x,BD=y。放置C时与D无关，此时需要满足10≤x≤30且0≤y≤0；同理，放置D时需要满足10≤y≤30且0≤x≤30。由此可以得到下图的几何图形：
大正方形的面积是900，代表样本空间的度量，阴影部分的小正方向面积是400，代表所有符合条件的样本，因此最后的答案是4/9。
如果最后的位置必须是A、C、D、B，那么D的摆放就不是独立事件，它必须在C之后，摆放的空间依赖于C。仍然设AC=x,BD=y，需要满足x≥10，y≥10, 0<x+y<30。对于问题的解空间来说，x,y满足 0<x, 0<y, x+y<30。如此一来可以得到下面的几何图形：
0<x, 0<y, x+y<30是大三角形，x≥10，y≥10, 0<x+y<30 是小三角形，二者面积的比值就是问题的答案，结果是1/9。
作者：我是8位的
出处：http://www.cnblogs.com/bigmonkey
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