多变量微积分笔记3——二元函数的极值

什么是极值

  极值不同于最值,极值的定义如下:

  若函数f(x)在x0的一个邻域D有定义,且对D中除x0的所有点,都有f(x)<f(x0),则称f(x0)是函数f(x)的一个极大值。同理,若对D的所有点,都有f(x)>f(x0),则称f(x0)是函数f(x)的一个极小 值。极大值和极小值也称为局部最大值和局部最小值。

  如果用图形解释,那么:当我们在极大值点上,向任何方向移动输入点都会减小函数值;当我们在极小值点上,向任何方向移动输入点都会增加函数值。

  极值的概念来自数学应用中的最大最小值问题。根据极值定律,定义在一个有界闭区域上的每一个连续函数都必定达到它的最大值和最小值,问题在于要确定它在哪些点处达到最大值或最小值。极值点只能在函数不可导的点或导数为零的点上取得。

  极值定律:当函数f(x)在闭区间[a,b]上是连续函数时,存在c属于[a,b],d属于[a,b],有f(c)≤f(x)≤f(d),x∈[a,b]成立。

  可以看出,极值是一个局部概念,我们可以说极大值是函数在某个区间内的最大值。一个函数可能有多个极值,如下图所示,B,C,D,E均为极值点:

  

  对于一元函数,求得极值和最值较为容易,但是对于多元函数,情况就复杂的多。这里主要介绍如何求解二元函数的极值(对于更多元函数的极值,在后续章节学习梯度后将继续阐述),在此之前还需要弄清楚另外两个点——临界点和鞍点。

临界点(驻点)

  对于一个多元函数f,如果有一个点满足f所有自变量的偏导都同时为0,那么这个点被称为f的临界点,也称为驻点。

  对于二元函数f(x, y)来说,临界点(x0, y0)满足:

 

  示例:求f(x, y) = x2 – 2xy + 3y2 + 2x – 2y的临界点

 

  f(x)只有一个临界点(-1, 0)

 

  由于极值点只能在函数不可导的点或导数为零的点上取得,所以临界点成为求解极值点的关键。现在的问题是,上面的叙述反过来并不成立,也就是临界点未必是极值点;另一个问题是,当临界点是极值点时,如何判断极值是极大值还是极小值?

  在此之前先来认识一下鞍点。

鞍点

  既不是极大值点也不是极小值点的临界点,叫做鞍点。

  鞍点这词来自于不定二次型z=y2-x2的图形,像马鞍:x-轴方向往上曲,在y-轴方向往下曲。

  在z=y2-x2鞍点处,沿y轴方向向两边移动,函数值会减小;沿x轴方向向两边移动,函数值会增大:

求得极值点

  现在回到最初的问题——如何寻找极值。

通过作图寻找

  最直观的办法是通过作图寻找,在图中很容易找到极值:

  很明显,凹凸处就是极值。

  等高线图同样容易寻找极值:

  在等高线图中,极大值和极小值看起来是一样的,需要读出函数的数值:极小值周围,函数值向外递增;极大值周围,函数值向外递减。

通过二阶偏导判定

  虽然作图法最直观,但二元函数通常很难作图,更多元的函数甚至无法作图,幸而数学家们找到了一种更为通用的办法,这就是里利用二阶导数判断。

  f(x, y)的一个临界点是(x0, y0),即fx(x0, y0) = 0 && fy(x0, y0) = 0,f的二阶导数是fxx,fxy,fyy现在,

  该临界点有如下结论:

示例

示例1

  求函数f(x,y) = x3 – 3xy + y3 的极值

  1)       计算偏导

 

  2)       计算临界点

 

  临界点是(0, 0)或(1, 1)

  3)       计算二阶偏导

 

  4)       判断临界点类型

  在(0, 0)处,AC – B2 = -9 < 0,(0, 0)是鞍点;

  在(1, 1)处,AC – B2 = 27 > 0,A = 6 > 0,(1, 1)是极小值点,此处的极值是f(1, 1) = -1

 

示例2

  做一个2体积单位的长方体有盖木箱,长宽高怎样取值才能最省料?

  设木箱的长宽分别为x和y,则高是4/xy,用料的面积

 

  计算偏导:

  找到临界点:

 

  此时先不要急于寻找极值点,极值点可能是局部最小或最大点,我们要寻找的是全局最小点。最值可能出现在几个点上,临界点、函数边界或无穷远处。在用料面积A来说,如果x或y趋近于∞,则xy→∞,A→∞;如果x→0或y→0,则(2/x)→∞或(2/y)→∞,A→∞。因为我们确定,在体积一定的情况下一定存在最小用料,所以临界点是极小点,同时也使全局极小点,即最小点。从这个例子中也看出,在体积一定的长方体中,以正方体的表面积最小。

 


   出处:微信公众号 "我是8位的"

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随笔

posted on 2018-01-19 22:40  我是8位的  阅读(22212)  评论(0编辑  收藏  举报

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