线性代数笔记4——向量3(叉积)

什么是叉积

  向量的叉积也叫外积、向量积、叉乘或矢量积。两个向量的叉积是这样表示的:

 

  在二维空间内,向量A = <a1, a2>,B = <b1, b2>

 

  其几何意义就是以两个向量为边的平行四边形的面积,这在上篇文章中给出了详细说明。

  此外,叉积也适用于两个在三维空间内的向量。在三维空间内,向量A = <a1, a2, a3>,B = <b1, b2, b3>,C = <c1, c2, c3>

 

  i, j, k是三个维度中每个维度的单位向量,有点像三阶行列式,但并不是常理上的行列式,因为行列式不会出现向量,这里仅仅是为了便于表达和记忆。

  从上面的描述中可以看出,叉积得到的是一个向量,而不是一个数字,也因此,A×BB×A并不等同,实际上,

叉积的几何意义

  向量的两个要素是模长和方向,让我们从这两个角度考虑叉积的几何意义。

  在模长上,叉积的几何意义是以两个向量为边的平行四边形的面积:

  两个相同向量的叉积是0,

 

  如果用几何意义解释,二者构成一条线段,线段的面积是0。

  在方向上,叉积垂直于平行四边形所在的平面:

  由于叉积存在负值,所以垂直的方向可能向上或向下,具体方向根据右手法则判断。

  右手法则很有意思,首先要保持拇指朝上,然后其他四指指向叉积的第一个向量,向内弯曲四指指向另一个向量。如果两个向量的方向能符合这个手势,此时拇指的方向就是叉积的方向;如果必须向外弯曲四指,拇指的反方向是叉积的方向。总之,最终能够以一个舒服的方向竖起拇指就对了。

叉积的作用

计算平行六面体的体积

  所谓平行六面体,就是六面体的每个面都是平行四边形,如下图所示:

  向量H是垂直于底面的向量,|H|是六面体的高,可看作向量AH方向上的分量,分量可以用点积表示,这在上一篇中叙述过。如果令uH方向的单位向量:

 

判断点是否在同一平面

  空间内的三点可以确定一个平面,P1,P2,P3是空间中的三个点,另有一点P,如何判断P是否在平面内?

 

P是否在P1,P2,P3组成的平面内?

  可以借助向量通过上一节中平行六面体体积的知识判断,如下图所示:

 

  这样形成了三个向量,|P1P3×P1P2| 是这两个向量围成的平行四边形的面积,P1P·|P1P3×P1P2| 表示平行六面体的体积,如果体积是0,那么P就在平面内。

计算法向量

  也可以用另一种方法求解上面的问题,这需要法向量的帮助。一个与平面垂直的向量称为该平面的法向量,一个平面有无数条法向量,法向量与一个常数的乘积还是法向量。

  N是平面的法向量,如果NP1P,则P在平面内。根据点积的知识,N·P1P = 0,则NP1P。如何计算N呢?实际上,N就是P1P3P1P2的叉积。

  如果P在平面内,则体积 = P1P·(P1P3×P1P2)= 0;由于NP1PN·P1P = 0,结合二者:

P1P·(P1P3×P1P2)= P1P· N = 0

 => N = P1P3×P1P2

示例

示例1

  平行六面体是三条边是三个向量<2, 2, 0>,<1, 0, 1>,<0, 1, 1>,求该六面体的体积。

  很明显是相交于<0, 0, 0>的三个向量,设三个向量分别是ABC

 

  体积是4

示例2

  计算三个点围成的三角形的面积,P1(-1, 0 , 1),P2(0, 2, 2),P3(0, -1, 2)

  使用叉积很容易计算,需要注意的是,点积和叉乘仅对向量有意义,对点来说则毫无用处,所以首先需要将点转换为向量。

 

 


   出处:微信公众号 "我是8位的"

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随笔

posted on 2018-01-05 22:50  我是8位的  阅读(7819)  评论(3编辑  收藏  举报

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