单变量微积分笔记13——定积分

  定积分是积分的一种,是函数f(x)在区间[a,b]上的积分和的极限。这里应注意定积分与不定积分之间的关系:若定积分存在,则它是一个具体的数值(曲边梯形的面积),而不定积分是一个函数表达式,它们仅仅在数学上有一个计算关系(牛顿-莱布尼茨公式),其它一点关系都没有!一个函数,可以存在不定积分,而不存在定积分,也可以存在定积分,而不存在不定积分。一个连续函数,一定存在定积分和不定积分;若只有有限个间断点,则定积分存在;若有跳跃间断点,则原函数一定不存在,即不定积分一定不存在。

什么是定积分

  有一块形状不规则的土地,要测量它的面积,怎么办呢?

 

  这意味着我们要求解曲线下的面积,该面积从a开始,到b结束,用 表示,这就是定积分。对比不定积分,发现定积分有起点和终点。不定积分是已知导数求原函数,定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中的图像包围的面积。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。

黎曼和

  如何求解曲线下的面积呢?为了简化问题,我们假设f(x) = x2,这是一个较为简单的曲线,同时设a = 0, b = 1:

  分为三步计算面积:

  1. 首先把阴影部分却成一系列等宽的矩形;
  2. 把这些矩形的面积加起来:
  3. 修正之前的算法。

  如下图所示:

将面积分为成一系列矩形

  我们看到,每个矩形都可能超出或小于实际面积,所谓“修正之前的算法”,是修正矩形增加或减少的面积,具体做法是通过让矩形变窄来取得极限值,如下图所示:

矩形变窄

变得更窄的矩形

  矩形越窄,就越接近实际面积。

  当矩形宽度很小时,把所有矩型面积加起来就是这块不规则图形的面积,这就是著名的“黎曼和”。矩形宽度趋于0时,即为面积微分;各个面积求和取极限即为定积分。虽然牛顿时代就给出了定积分的定义,但是定积分的现代数学定义却是用黎曼和的极限给出。

  就上图而言,f(x) = x2,a = 0,把ab分为n份:

  曲线下的面积之和就是当n→∞时的矩形面积之和。现在的问题是如何求得(12+22+32+...+n2)/n3

  这需要一点技巧,用作图法求解。

  想象一下金字塔,每一层都是有若干块砖头堆砌而成,其模型如下:

  垂直切割面如下面两图所示:

图1 三角形面积大于金字塔面积

图2 三角形面积小于金字塔面积

  由此可以将问题转换为求金字塔的体积。

面积的示例

三角形的面积

  f(x) = x,求阴影部分三角形面积。

长方形的面积

  f(x) = 1,求阴影部分长方形的面积。

定积分的公式

  结合上面的例子,设Δx = (b - a)/n,给出定积分公式:

  可以得到下面的表格:

  可以大胆地猜测,

示例

  估算f(x) = x3在[-1, 3]上的定积分。

  设Δx = 1,

 总结

  1. 定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中的图像包围的面积。
  2. 当矩形面积很小时,把所有矩型面积加起来就是这块不规则图形的面积,这就是著名的“黎曼和”。
  3. 定积分公式:

 


   出处:微信公众号 "我是8位的"

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posted on 2017-10-17 22:48  我是8位的  阅读(...)  评论(...编辑  收藏

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