单变量微积分笔记11——微分和不定积分

  微分在数学中的定义:由函数B=f(A),得到A、B两个数集,在A中当dx靠近自己时,函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分,微分的中心思想是无穷分割。积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。直观地说,对于一个给定的正实值函数,在一个实数区间上的定积分可以理解为在坐标平面上,由曲线、直线以及轴围成的曲边梯形的面积值(一种确定的实数值)。

微分

什么是微分

  如果对于函数y=f(x),存在dy=f’(x)dx,称dy是y的微分或f(x)的微分。

  如果换一种写法:

  这实际上就是莱布尼茨对于导数的记法,它和导数表达了同一个意思。

  重新审视导数的含义,其公式:

  导数表示的是两个无穷小量的比,dy和dx就是这两个无穷小量:

  过去我们把dy和dx叫做Δy和Δx,实际上它们不是一回事,Δx是一个实实在在的数量,dx是一个概念,是Δx→0的函数表达式,可以把dx看作一个符号,就是微分符号。

 

 

用微分求解近似值

  示例:64.11/3≈?

  设y = x1/3,当x = 64时,y = 4,x + dx = 64.1,dx = 0.1,代入微分公式:

微分法与线性近似的对比

  示例也可以用线性近似法求解。设f(x) = x1/3,x0 = 64

  根据线性近似公式:

 

  两种方法的结果相同。结合线性近似公式和微分公式:

  

  实际上线性近似是微分的一种应用。

示例

  示例1,d(7x9 + 34 – 5u-3) = ?

   根据导数的加法法则,

   d(7x9 + 34 – 5u-3) = d(7x9) + d(34) – d(5u-3) = 7×9x8dx + 0 – 5×(-3)x-4dx = 63x8dx + 15x4dx

  

  示例2,d(sinθcosθ) = ?

  根据导数的乘法法则,

  d(sinθcosθ) = (dsinθ)cosθ + sinθdcosθ = (cos2θ-sin2θ)dθ

 

   示例3

不定积分

什么是不定积分

  上面的式子就是不定积分表达式,称作g(x)dx的不定积分,其中G(x)的导数是g(x),即G(x)是g(x)的反导数。g(x)的反导数又叫做g的不定积分,∫就是积分符号。

 

  示例1,∫sinxdx

  求解sinxdx的不定积分,实际上是求解谁的导数是sinx。如果G(x)=-cosx,则G’(x)=sinx,所以∫sinxdx = -cosx + C,其中C是一个常数,之所以叫不定积分,就是因为有了这个常数。∫sinxdx是不定的,因为我们并没有给出一个确定的函数。

  示例2,∫xadx

 

  示例3,∫dx/x

 

不定积分的唯一性

  不定积分的唯一性:如果f’(x)=g’(x),则f(x) = g(x) + c

  以下给出证明:

  设F=f(x),G=g(x),如果f’(x)=g’(x),则(F – G)’ = F’ – G’ = 0

  常数的导数是0,所以F-G是一个常数,即f(x) – g(x) = c => f(x) = g(x) + c,证毕。

  唯一性也是不定积分成立的基础。

求解不定积分

  不定积分的求解远比求导困难的多,很多时候甚至发现根本无法求解,这里仅记录两种最常用的求解方法:换元法和猜测法。

换元法

  示例1,∫x3(x4+2)5dx

  这个不能一眼看出答案了,使用一种称为换元法的方法求解。

 

猜测法

  做过大量练习后就可以使用猜测法直接猜测不定积分的结果,这应该成为首先尝试的求解方法。

  示例1

   这个例子在换元法中出现过,现在使用猜测法求解。

   示例2,∫e6xdx

   示例3 

  示例4,∫sinxcosxdx

  猜测sin2x => dsin2x = 2sinxcosxdx => ∫sinxcosxdx = sin2x/2 + C1

  ∫sinxcosxdx的另一个答案是 -cos2x/2 + C2

  如果将两个答案相减,得到(sin2x+ cos2x)/2 + (C1 - C2) = 1/2 + (C1 - C2) = C,两个函数的相减的结果是一个常数,即这两个函数是同族函数。

综合示例

  示例1,d(7x9 + 34 – 5u-3) = ?

  根据导数的加法法则,

  d(7x9 + 34 – 5u-3) = d(7x9) + d(34) – d(5u-3) = 7×9x8dx + 0 – 5×(-3)x-4dx = 63x8dx + 15x4dx

 

  示例2,d(sinθcosθ) = ?

  根据导数的乘法法则,

  d(sinθcosθ) = (dsinθ)cosθ + sinθdcosθ = (cos2θ-sin2θ)dθ

 

  示例3

   示例4,

  示例5,∫e2xcos(1-e2x)dx

  使用换元法,令u = (1-e2x), du = -2 e2xdx

  ∫e2xcos(1-e2x)dx =∫cos(1-e2x) e2xdx =∫u (-1/2)du = -sinu/2 + C = -sin (1-e2x)/2 + C

  示例6,∫4x(5x2-1)1/3dx

  这个又要靠猜测法了,猜的(5x2-1)1/3的反导数。

  d(5x2-1)4/3 = (4/3) (5x2-1)1/3(10x)dx = (40/3)x(5x2-1)1/3dx,与目标很相似

  ∫4x(5x2-1)1/3dx = (3/10)(5x2-1)4/3 + C

  示例7,∫tanxdx

  ∫tanxdx = ∫(sinx/cosx)dx

  使用换元法,令u = cosx, du = -sinxdx

  ∫(sinx/cosx)dx = ∫-du/u = -ln|u| + C = -ln|cosx| + C

积分表

  以下是25个基本不定积分公式:

  

 

总结

  1.微分表达式:dy = f’(x)dx

  2.不定积分表达式:G(x) = ∫g(x)dx

  3.不定积分的唯一性:如果f’(x)=g’(x),则f(x) = g(x) + c

  4.用换元法和猜测法求解不定积分

 


   出处:微信公众号 "我是8位的"

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posted on 2017-10-10 22:26  我是8位的  阅读(...)  评论(...编辑  收藏

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