单变量微积分笔记6——线性近似和二阶近似

线性近似

  假设一般函数上存在点(x0, f(x0)),当x接近基点x0时,可以使用函数在x0点的切线作为函数的近似线。函数f(x)≈f(x0)+f'(x0)(x- x0)即称为函数f在x0点的线性近似或切线近似。

f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)(x- x0)

公式来源

  导数的定义:

  左右两边同时乘以x-x0,并去掉极限符号:

 

  在x≈x0=0时

 

几何意义

  线性近似求解的是近似值,其几何意义是在基点的切线近似于原函数的曲线。

  以f(x)=lnx为例,根据公式,在x0=1,lnx≈x-1,曲线和切线如下图所示:

  在x0=1点附近,曲线近似于直线,x越接近x0,二者的近似度越高。在讨论近似时,只有指定基点才有意义。这很容易理解,x越远离x0,曲线和直线的差距越大;同时,当基点不同时,切线的斜率也不同。

常用线性近似

  x0=0  

  以下是上述线性近似的几何意义:

sinx≈x

 

cosx≈1

ex≈x+1

ln(x+1)≈x

(1+x)n≈1+nx,n=2

化繁为简

  例1:ln(1.1) = ?

  这需要计算器了,但实际工作中往往只需要寻找近似值。

  如果设x=0.1,则 ln(1.1) = ln(1+x),当x≈0时,ln(1+x) ≈ x,在此, 我们认为0.1接近于0,ln(1.1) = ln(1+x) ≈ x = 0.1

  0.1是否接近于0,这是个及其主观的判断,要视具体问题而定。某些时候,0.1可能距离0很远,另一些时候,10也可能距离0很近。

 

  例2:在x≈0时,

  这不需要计算器,直接将代入x=0即可,结果为1。然而这种方法太过简陋,如果判断x=0.10,就需要一个更精确的结果,不能直接将0代入。

 

  还是使用线性近似的思路,首先需要把式子转换成我们认识的写法:

  当x≈0时,根据公式f(x) ≈ f'(0)(x) + f(0),重点是计算f’(0):

  对这个长长的式子求导非常麻烦,涉及到多个求导法则,我们希望用简单的方式求解。

  对于本例来说,非常幸运,我们已经知道x≈0时 ex≈1+x,xn≈1+nx,代入本例:

  当x≈0时,高阶函数3x2/2≈0,随着x→0,3x2/2更快地趋近于0,所以上式可舍弃高阶函数:

  通过这两个例子可以看出线性近似的作用——化繁为简。等号左侧的式子是繁,比如ln1.1和,通过线性近似将其转化为简单的式子,0.1和1-7x/2

  在转换过程中当然会损失一些精度,但绝大多数时候我们都无需得到精确的解,例如在x=0.0001的时候,原式的计算量相当大,化简后将极大地简化计算,而付出的代价相当少,几乎可以忽略;某些时候甚至根本无法得到精确解,比如无理数的计算。取而代之,我们求得可接受的近似解,通过近似解化繁为简。

  化繁为简的思路也贯穿于整个数学,后续我们将看到,在求解复杂问题时,采取的方法几乎都是不断寻找近似、舍弃。

  在利用计算机寻找最优解时,几个常用的算法是爬山法、模拟退火算法、遗传算法,这些算法都是采用化繁为简的思路,舍弃全局最优解,寻找可以接受的较好解,故每次得到的结果都会稍有偏差。

二阶近似

公式

几何意义

  二阶近似的几何意义是最接近原函数的抛物线,它比线性近似更为精确。

  以f(x)=ln(1+x)为例,根据公式,在x0=0,

  曲线如下:

ln(1+x)≈x-x2/2

  对比线性近似可以看出,二阶近似在基点附近更贴近原函数。

为什么会出现1/2

  为什么会出现1/2呢?

  二级近似的几何意义是最接近曲线的抛物线,如果原曲线本身就是抛物线,则二阶近似就是原曲线本身。

  原函数f(x) = a + bx + cx2

  f’(x) = b + 2cx

  f’’(x) = 2c

  当x = 0时,

  f(0) = a,  f’(0) = b , f’’(0) = 2c

  二阶近似 f(x) ≈ a + bx + 2cx2/2 = a + b + cx2

  这就是出现1/2的原因,当然,仅当f(x) = a + bx + cx2时才能如此精确。

常用二阶近似

  x0=0

   以下是上述线性近似的几何意义:

 

sinx≈x

 

cosx≈1-x2/2

 

ex≈1+x+x2/2

 

ln(1+x)≈x-x2/2

示例

x0时,e-3x(1+x)-1/2=?

根据ex1+x+x2/2   (1+x)n1+nx+n(n-1) x2/2

e-3x(1+x)-1/2(1-3x+(-3x/2)2)(1-x/2+(-1/2)(-3/2)x2/2) 

舍弃3阶和4阶函数,e-3x(1+x)-1/21-7x/2+51x2/8

 总结


   出处:微信公众号 "我是8位的"

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posted on 2017-09-12 23:02  我是8位的  阅读(...)  评论(...编辑  收藏

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