单变量微积分笔记3——导数3(隐函数的导数)

幂函数的扩展形式

  f(x) = xn的导数:f’(x) = nxn-1n是整数,该公式对f(x) = xm/n, m,n 是整数同样适用。

  推导过程:

  两端同时求导,由于y是x的函数,根据链式求导法则:

什么是隐函数

  引自知乎:

  “如果方程F(x,y)=0能确定y是x的函数,那么称这种方式表示的函数是隐函数。

  “本质上F(x,y)=0函数y=f(x)是一样的,但是在数学理论中,总有一些函数,人们已经证明它们的函数关系,但是还是无法表示成显函数的形式,就叫做隐函数。隐函数一般是一个含x,y的方程如e^y+x^2+x=0这种形式,由于形式复杂,y不容易变形为用含x的式子表示,即不易表示为y=f(x),但如果能确定对于x的每一取值,y都有唯一确定的值与它对应的话,y就是x的函数关系,但这样的关系隐含在方程中,不容易写成明显的函数关系的形式,所以称隐函数。”

示例1:x2 + y2 = 1求导

  对x2 + y2 = 1,y >= 0求导

  解法1:y = (1-x2)1/2

  根据链式求导法则,

 

  解法2:y2 = 1 – x2,y是x的函数,等式两边同时求导:

  解法3:隐函数保持不变,直接对等式两侧求导:

示例2:y4 + xy2 – 2 = 0求导

  用显示求导方法将麻烦到一定程度,所以直接使用隐示求导:

  到此,隐示法求解的结果还是隐示,但似乎没有必要再把y用x替换,当需要求解f(x,y)=y4+xy2-2=0在某一点(x0,y0)的导数时,只需要将x0,y0代入即可;如果只给出x0,也可以通过简单的代入法求出对应的y0,再代入隐示结果。

 


   出处:微信公众号 "我是8位的"

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posted on 2017-09-03 18:50  我是8位的  阅读(1469)  评论(0编辑  收藏

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