概率笔记7——数学期望

  如果知道一个随机变量的分布函数,就能知道这个随机变量体现出的随机性的客观规律。但是很多时候我们不清楚分布函数是什么。有些时候,对于一批数据来说,未必一定要关心分布函数。比如一批产品,我们可能只关心这批产品的平均使用寿命,这里的平均使用寿命是随机变量的某个数字指标,称为随机变量的数字特征。数字特征与“随机”没有任何关系,确切地说是通过一系列计算方法将变量的随机性消除了。

数学期望的概念

  数学期望是一种重要的数字特征,它反映随机变量平均取值的大小,是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。这里的“期望”一词来源于赌博,大概意思是当你下注时,期望赢得多少钱。

  简单地说,数学期望就是均值,我们以一个例子来说明数学期望。

  有一个射击比赛,分为大、中、小三类目标,其分值和命中率如下:

  如果一个选手射击了三次,假设它一定会命中目标,那么期望的平均分是多少?

  这个“期望的平均分”就是一个数学期望,看起来挺简单:

  很遗憾,这是错误的结果,它忽略的命中率。正确的均值是:

  命中率相当于计算机算法中常说的权重(权重等同于概率论中的概率),通过加权平均才能得到合理的均值。因此说,数学期望就是合理的加权平均值,期望体现在合理二字上,期望值并不一定包含在变量的输出值集合里。

离散型和连续型随机变量的数学期望

  离散型的数学期望容易理解,离散事件的每个取值都对应一个概率:

  可以把xi看作得分,pi相当于得到该分值的概率,它的数学期望是所有变量的加权平均:

  对于连续型事件来说,某一点的概率是没有意义的(详细说明参见上一章的内容),我们要关注的是某两个点之间的分布。实际上我们可以借助密度函数表达某一点上的概率。设f(x)是连续型事件的密度函数,那么P(x)=f(x)dx,虽然计算f(x)dx没有意义,也无法计算,但是并不妨碍用它来表达P(x)。现在知道了某一变量的值和该变量下事件发生的概率(权重),可以计算它的数学期望(加权平均)了:

随机变量函数的数学期望

  有一个随机变量X,Y=g(X),Y的数学期望是什么?

  g(X)是将随机变量包裹在一个函数内,这似乎有些令人迷惑,我们仍然以射击的例子说明。

  之前的射击比赛得分太低,组织方打算提高分值,具体做法是在原来的分值基础上乘以100,即g(x) = 100x:

  现在的目标是计算g(X)的数学期望。这次没那么难以理解了:

  虽然得分变了,但命中率未变,也就是每个变量出现的概率没有变。将问题泛化,如果X是离散型随机变量,那么随机变量函数Y=g(X)的数学期望是:

  如果X是连续型随机变量,那么随机变量函数Y=g(X)的数学期望是:

  其中f(x)dx仍然相当于X=x时事件发生的概率P(x)。

 

数学期望的性质

   设C为一个常数,X和Y是两个随机变量,则:

  

  性质1是说期望是作用在随机变量上的,对常数无效;性质3和性质4可以推到到任意有限个相互独立的随机变量之和或之积的情况。  

 


   作者:我是8位的

  出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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posted on 2019-06-26 11:01 我是8位的 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏

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