密码疑云 (3)——详解RSA的加密与解密
上一篇文章介绍了RSA涉及的数学知识，本章将应用这些知识详解RSA的加密与解密。
RSA算法的密钥生成过程
密钥的生成是RSA算法的核心，它的密钥对生成过程如下：
1. 选择两个不相等的大素数p和q，计算出n=pq，n被称为RSA算法的公共模数；
2. 计算n的欧拉数φ(n)，φ(n)=(p-1)(q-1)；
3. 随机选择一个整数e作为公钥加密密钥指数，1< e < φ(n)，且e与φ(n)互质；
4. 利用同余方程ed≡1 (mod φ(n))计算e对应的私钥解密指数d。由于GCD(e, φ(n))=1，因此同余方程有唯一解，d就是e对于模φ(n)的乘法逆元；
5. 将(e,n)封装成公钥，(d, n)封装成私钥，同时销毁p和q。
由于n已经被公开出去，剩下的d就成为RSA有效性的关键，如果d被破解，那么密码系统也宣告失效。至于能否破解，后续再议，先来看看RSA是的加密和解密算法。
RSA的加密和解密算法
现在Bob通过上述过程生成了公钥和私钥，并把公钥告知了Alice，如果Alice想和Bob通讯，就需要用Bob的公钥PKB对发送的明文X进行加密，从而得到密文Y：
在RSA中，Ee,n(X)是模幂运算，先计算X的e次方，再对其结果用n求余：
Bob收到密文后，需要对其解密，还原出明文X，解密运算也是模幂运算：
所有信息（包括文字、语音、图像、视频等）在计算机中都是二进制数据，因此可以将X和Y视为整数，进而使用摸幂运算。
加密运算容易理解，解密运算为什能还原出明文呢？如果a%n=b，则下面的表达是等同的：
因此加密过程在表达上等同于：
将密文代入解密运算：
继续计算似乎有点困难，不妨先把问题简化，令a=Xe：
这里有一个规律，展开式只有第一项不含有kn，这意味着(a-kn)d能否被n整除完全取决于展开式的第一项，因此：
在生成密钥的第4步，根据ed≡1 (mod φ(n))计算出了d，这意味着：
根据欧拉定理，如果a, n是正整数，且二者互质，则：
因此，当X和n互质时：
根据①可知：
根据模运算的性质：
③可进一步简化为：
这里有两种情况，X>=n或X <n 。当X<n 时，由于已经假设了 互质，所以：
当X>=n是，情况变得有些微妙，假设X=37,n=35：
这下可坏了，解密算法根本无法还原出明文。难道是解密算法有误？实际上RSA的加密是有前提条件的，根据RSA规范（https://tools.ietf.org/html/rfc2437），明文的取值范围必须在0到n-1之间：
看来只能是 X<n，当X和n 互质时，解密算法有效，可以还原出明文。
当X和n不互质时，它们必然有除了1以外的其它公约数；由于n只有p和q两个约数，因此p或q也一定是X的约数，也就是说X=kp或X=kq。假设X=kp，如果X与q不互质，q本身又是与p互质的素数，因此k一定是q的整数倍：
这里用使了同余的性质，若 a≡b mod m，则：an≡bn mod m 。
同余符号两侧同时乘以 X：
根据②：
代入④中：
因为(kp)ed能够被p整除，所以kp+tq也能被p整除，同时kp也能被p整除，根据整除的性质，tq也能被p整除；由于p和q互质，所以t一定是p的倍数：
现在可以把这个结论代入①中继续进行解密运算：
根据模运算规则：
解密运算进一步简化为：
由于RSA规范限制X<n，因此：
现在可以知道，在RSA规范的限制下，RSA的解密确实可以还原出明文。
假设Bob选择了两个素数，p=113,q=59，由此计算出n=6667，φ(n)=112*58=6496；之后Bob选择了一个与6496互质的小质数e=17作为密密钥指数，再使用前面介绍的扩展欧几里德算法用extEculid(17, 6496)计算出乘法逆元d=3057；最后，Bob把(17, 6667)作为公钥发送给Alice，把(3057，6667)作为私钥留给了自己。
现在，Alice向Bob发送了一个520的数字，经过加密运算后生成了密文：
Bob收到后用自己的私钥对其解密：
RSA的安全性
密码体制的安全性依赖于密钥的安全性，现代密码学不追求加密算法的保密性，而是追求加密算法的完备，使攻击者在不知道密钥的情况下，没有办法从算法找到突破口。
RSA算法的密钥生成过程中涉及到p,q,n, φ(n),e,d几个数字，其中p和q在最后被销毁，还剩下四个：n, φ(n),e,d，在这四个数中，n和e用于私钥，对外公开，d用于私钥要严格保密，一旦d泄露了，就等于加密系统被破解了。现在的问题是，能否通过公钥n和e推算出d？
回顾RSA密钥生成的过程，d是由ed≡1 (mod φ(n))计算得出的，只有知道e和φ(n)才能计算出d；φ(n)=(p-1)(q-1)，只有知道p和q才能计算出φ(n)；n=pq，GCD(p,q)=1，只有将n进行素因子分解才能计算出p和q，这就回到了RSA的原理——将两个大素数相乘很容易，但是想要对它们的乘积进行素因子分解却及其困难。反过来，如果n可以被素因子分解，就可以复原已经被销毁的的p和q，进而计算出d，获得私钥。
所谓将大整数进行素因子分解很困难，是指计算上的困难，对一极大整数做素因子分解越困难，RSA算法越可靠。假如有人找到一种快速的素因子分解算法，那么用RSA加密的可靠性就将会极度下降。到目前为止，只有短的RSA密钥才可能被解破，至今为止，人们还没有发现一个有效的方法快速分解大整数。为了确保RSA加密系统的安全性，应该随机选择两很大的素数进行操作，以确保n的二进制达到上千位，以防御未来可能出现的素因子分解技术的近进步。目前能预测2030年之前足够安全的RSA密钥长度是2048位。
攻破心的壁垒
坚固的城堡往往是从内部被攻克的，再高明的加密体制也抵挡不住私钥泄露的危险。
周武王在对主将颁布“阴符”时曾明确告知，谁要是敢泄露“阴符”的暗语就剁了谁：“诸奉使行符，稽留者，若符事泄，闻者告者，皆诛之。八符者，主将秘闻，所以阴通言语不泄，中外相知之术。”然而一旦被俘，又有几个人能够做到不泄密？因此谍战片中很少有高端的密码破解技术，更多是严刑拷打，这比破译密码有效多了。现代特种部队的“抗审”训练也并非是提高硬扛的能力，而是尽最大可能拖延泄密的时间，像挤牙膏一样把信息一点一点透露出去，因为随着时间的流逝，机密的等级也将变得越来越低。
窃取和平年代的商用密码自然不能靠严刑拷打了，我们平时接触的密码很多，比如最典型的公司门禁密码和业务系统密码。然而遗憾的是，绝大多数公司都过于注重技术上的安全性，轻视了脆弱的人心。
“银河集团”最近上线了用于管理公司业务和客户信息的“芒砀山系统”，这是由一个著名的软件公司开发的，号称能够安全运行100年。“芒砀山系统”在外网上公开了注册客户能够使用的一些功能。“银河集团”特别注重系统的安全性，要求所有有权限登录管理端的员工必须使用16位以上的密码并定期更换。现在Mallory来了，他想要到系统中游荡一番，顺便篡改一下数据，他会怎么做呢？
以下是Mallory的自述：
我一定要黑进“芒砀山系统”，为此我做了大量的信息侦查，收集到了“银河集团”一些人员的姓名和座机电话。
我不知道这个系统还有没有其它名字，所以我一开始拨打了一个客服电话，说自己的公司也在使用一个类似的系统，我说：“我们的系统在公司内部叫芒砀山，你们也叫这个名字吗？”
“我们叫芒砀山号。”客服小姐说。
这是个有用的信息，能够增加我的信誉度。然后，我给行政部门的打了一个电话，给了他们在信息侦查时找到的客服部经理的名字，说自己是一位刚刚入职的员工，需要分配一个邮箱。接电话的哥们立马给我开通了邮箱，并告诉了我邮箱地址和初始密码。
一小时后，我又拨打了行政部门的电话，接电话的还是刚才的人，我挂掉了电话。
又过了一会，我再次拨打行政部的电话，这次是一个叫赵信的人接听的。“Hi，我是客务部新入职的员工，我需要登录芒砀山号的客户管理界面，能不能为我开通一下账号？”“好的，你的邮箱是什么？”我给了他刚刚激活的邮箱。“好的，没问题。你的帐号就是你的邮箱号，初始密码需要你到我这里领取。”
我试着问：“可以把密码发到我邮箱里吗？”
他回答说：“我们不允许在电话和邮件中给你密码，你的办公室在哪里？”
我说：“我马上要去赶飞机。你可以把密码密封在一个信封里，待会交给琪琳吗？” 琪琳是我从信息侦查环节中发现的客服部秘书的名字。
他说“好的，祝你工作顺利。”
过了一会，我打电话给琪琳，取回赵信留给我的信封，并读取其中的信息给我，她照办了。我告诉她把字条扔到垃圾桶里，因为我不再需要它了。
“芒砀山系统”就这样对我敞开了大门。
Mallory使用了一种被称为“社会工程学”的知识取得了密码，从而“光明正大”地走进了系统，并不是Mallory的技术高深莫测，而是Mallory更懂人心。
注：Mallory的故事改编自世界顶级黑客凯文·米特尼克的《线上幽灵》。
来自量子计算的挑战
RSA加密系统能够确保安全的前提是，没有一个计算机能够在可接受的时间内分解一个极大整数，即使是超级计算机也要花费数年的时间。然而，随着量子计算机体系结构的发展，过去的超强算力似乎也并非不可触及。
二十世纪后期，美国学者提出了基于量子计算机的质因数分解算法——Shor算法，从理论上证明，在当前最快的计算机上需要上万年才能完成的计算任务，量子计算机瞬间即能完成，严重地威胁到了基于这类数学难题的公钥密码系统的安全性。紧随其后的Grover量子搜索算法，对于密码破译来说，相当于把密钥的长度减少一半，种种迹象表明，通用量子计算机一旦实现，对目前广泛使用的RSA、EIGamal、ECC公钥密码和DH密钥协商协议都构成了严重的威胁。
2016年，美国国家安全局建议所有美国政府机构放弃RSA加密算法，而改用其它技术。随着量子技术的不断成熟，实用量子计算机总会有到来的一天，到了那一天，密码学，特别是基于NP困难问题的公钥密码系统会何去何从呢？
作者：我是8位的
