差分与前缀和

前情提要：学弟说想学莫反，于是偶先写一个入门教程，后面再写不入门的。欢迎大家提出建议，请大力喷！

差分、前缀和作为微分、积分在离散空间中的对应形式，还是相当有用的。

Part 1

1D 序列 / 一维线性空间

这是我们最熟悉的场景，说给定了一个序列 $a=(a_1,a_2 \dots a_n)$，可以定义差分、前缀和两种运算/算子。

定义差分算子 $\Delta$ 作用效果是 $(\Delta a)_i = a_i - a_{i-1}$。
定义前缀和算子 $\Delta^{-1}$ 作用效果是 $(\Delta^{-1} a)_i = \sum_{x=1}^i a_x$。

这个符号特别难打，后面基本就不用了，只是想说这两种操作是互逆的。

这里注意一个细节，学过微积分的同学会知道，我们先差分再前缀和，应该会多出来一个不能确定的 $C$。
举个例子就是 $(1,2,3), (10,11,12)$ 的差分都是 $(1,1)$，再做前缀和得到的是 $(C, C+1, C+2)$ 这样一簇东西。

这样一来，我们的差分算子不是单射，疑似有点太垃圾了。
所以我们总是额外规定 $a_0 = 0$，这样在差分的时候，可以额外保存这个常数 $C$ 的具体信息。
这样一来 $\Delta$ 和 $\Delta^{-1}$ 之间也就可以交换次序了，即 $\Delta \Delta^{-1} = \Delta^{-1} \Delta = I$。当然这个很平凡。

Q1：给定长为 $n$ 的序列 $a_i$，有 $q$ 次操作，支持区间加一个数，全部结束后，你需要输出序列。
Sol：维护差分序列，最后前缀和还原回来就行，$O(n+q)$。

Q2：给定长为 $n$ 的序列 $a_i$，有 $q$ 次操作，支持区间加等差数列，全部结束后，你需要输出序列。
Sol：维护二阶差分序列，最后二阶前缀和还原回来就行，$O(n+q)$。

反演

反演的意思是，通过一个已知求和的序列，反向把原序列解出来。所以差分其实就是一种反演。

假设原序列是 $a$，前缀和数组是 $A$，那么可以写出以下这种等式：

$A_1 = a_1$，$A_2 = a_1 + a_2$，$A_3 = a_1 + a_2 + a_3$

考虑把前缀和算子 $\Delta^{-1}$ 写成矩阵乘法：

\[\begin{bmatrix} A_1 \\ A_2 \\ A_3 \\ A_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \end{bmatrix} \]

考虑把差分算子 $\Delta$ 写成矩阵乘法：

\[\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A_1 \\ A_2 \\ A_3 \\ A_4 \end{bmatrix} \]

观察这两个矩阵，会发现一个“巧合”，两者是互逆的。

也就是说反演，或者说求差分算子 $\Delta$，其实就是求某个矩阵的逆矩阵。也可以认为反演就是容斥。我们后面还会反复用到这种刻画。

加法卷积

我们定义两个序列 $a$ 和 $b$ 的加法卷积为：

\[(a * b)_n = \sum_{i+j=n} a_i b_j \]

故可以使用卷积来描述前缀和、差分的算子：

定义 $I = (1,1,1,1 \dots 1)$ 表示常数函数，那么前缀和 $A$ 就是 $a * I$ 做卷积。
定义 $D = (1,-1,0,0 \dots 0)$ 表示差分函数，那么差分 $a$ 就是 $A * D$ 做卷积。
定义 $e = (1, 0,0,0 \dots 0)$ 为单位元函数。类似的，也有 $I * D = e$ 互逆。

这里的常数函数有时也记作 $\textbf{1}$ 或 $\textbf{1}(n)$ 的形式。这种做法也可以视作是形式幂级数、生成函数。

高维前缀和 / 高维线性空间

先考虑 2D 的版本，这个也比较众所周知了：
前缀和，意思是，对于两个维度上，都满足下标都小于等于我的位置，它们的值要被加给我：

\[A_{x,y} = \sum_{i \le x} \sum_{j \le y} a_{i,j} \]

这里定义偏序关系是 $\le$ 即整数的大小关系。

差分，即容斥，这里的容斥系数容易确定：若下标有 $c$ 个维度上有减法，系数就是 $(-1)^c$：

\[a_{x,y} = A_{x,y} - A_{x,y-1} - A_{x-1,y} + A_{x-1,y-1} \]

可以把上式的减一换成别的，这样会容斥出来一个矩形范围。我们后面还会继续提到这点。

求前缀和的时候可以逐维度叠加，这里直接偷 OI wiki 的代码，以三维为例：

  for (int i = 1; i <= N1; ++i)
    for (int j = 1; j <= N2; ++j)
      for (int k = 1; k <= N3; ++k) a[i][j][k] += a[i][j][k - 1];

  for (int i = 1; i <= N1; ++i)
    for (int j = 1; j <= N2; ++j)
      for (int k = 1; k <= N3; ++k) a[i][j][k] += a[i][j - 1][k];

  for (int i = 1; i <= N1; ++i)
    for (int j = 1; j <= N2; ++j)
      for (int k = 1; k <= N3; ++k) a[i][j][k] += a[i - 1][j][k];

设 $k$ 维空间的整体大小为 $n$，则前缀和操作的复杂度为 $O(kn)$，差分也一样。
（原地）差分的代码需要改 -=，并使枚举顺序反向（从大到小），因为我们希望等式右侧的变量还没有被还原回去，也可以理解为按顺序撤销。

SOSdp / 快速 Zeta 变换

考虑这样一个问题，我们有一个大小为 $n$ 的集合 $S$，有一个在全体子集上有定义的 $f$，希望对每个子集 $S'$ 都计算：

\[g(S') = \sum_{T \subseteq S'} f(T) \]

枚举每个子集 $S'$ 再枚举其子集，这样的复杂度是 $O(3^n)$ 的，但我们可以做得更好。

不妨将每个元素视作一个维度，将不含/含它分别设为 $\{0,1\}$，则得到了 $n$ 维空间，总状态数为 $2^n$。
我们是这样描述前缀和的：对于每个维度上，都满足下标都小于等于我的位置，它们的值要被加给我。
我们定义偏序关系 $\subseteq$ 即集合的包含关系，子集和就变成了前缀和的描述，可以得到 $O(n 2^n)$ 的算法。

  g = f; // 先把 f(T) 加给 g(T)，类比一下 a 和 A

  for (int i = 0; i < n; ++i) {             // 考虑每个维度（逐维度叠加）
    for (int st = 0; st < (1 << n); ++st) { // 考虑每个状态（从小到大）
      if ((st >> i) & 1) {                  // 该状态第 i 个维度是 1
        // g[... 1 ...] += g[... 0 ...].
        g[st] += g[st ^ (1 << i)];          // 右侧的状态一定已经算过了
      }
    }
  }

一般来说，如果希望差分回去的话，首先需要改成 -=，同时翻转状态的枚举顺序（从大到小）。
但由于这里每个维度只有 $\{0,1\}$，我们并不需要翻转枚举顺序，因为右侧的变量在枚举每个 $i$ 时不可能被修改。

Part 2

算术基本定理 / 素数基

也就是整数唯一分解定理，任何正整数 $n$ 都可以唯一表示为素数的乘积：

\[n = 2^{c_1} \cdot 3^{c_2} \cdot 5^{c_3} \cdot 7^{c_4} \cdots \]

我们不妨把所有素数看做一组基，那么每个正整数 $n$ 都对应了一个向量：

\[\vec{n} = (c_1, c_2, c_3, c_4, \dots) \]

考虑一个数 $n$ 的所有约数 $d$，实际上遍历了每一个维度上都 $\le$ 向量 $\vec{n}$ 的 $\vec{d}$。

积性函数 / 正交分解

数论函数（也称算术函数）指定义域为正整数的函数。数论函数也可以视作一个数列。

积性函数是一类特殊的数论函数，满足：$f(1) = 1$，如果 $\gcd(a, b) = 1$，则 $f(ab) = f(a)f(b)$。

这类函数我们经常使用，从素数基的视角来看，$\gcd(a, b) = 1$ 意味着 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 是正交的。
这样一来，我们的 $f(n)$ 总是可以这样表示：

\[f(\vec{n}) = f(c_1, 0, 0\dots) \times f(0, c_2, 0\dots) \times f(0, 0, c_3\dots) \]

换句话说，对于具有积性的函数，我们只要研究它在单个素数轴上的性质，就足够考察它在所有整数上的性质了。

注：众所周知 $\gcd(a,b) = 1$ 还可以写作 $a \perp b$，这其实正是想要表示两者正交的意思。

狄利克雷卷积 / 乘法卷积

给定两个数论函数 $f$ 和 $g$，它们的狄利克雷卷积定义为：$$(f * g)(n) = \sum_{d\vert{}n} f(d) g\left(\frac{n}{d}\right)$$

我们考虑把数字表示成素数基的向量，那么 $\frac{n}{d}$ 的坐标恰好是向量相减 $\vec{n} - \vec{d}$。上面的公式就变成了：

\[(f * g)(\vec{n}) = \sum_{\vec{0} \le \vec{d} \le \vec{n}} f(\vec{d}) g(\vec{n} - \vec{d}) \]

对照一下，可以发现其实就是加法卷积公式，在高维空间的推广。

若只求一项 $(f * g)(n)$ 的值，分解因子就能做到 $O(\sqrt n)$；否则可以暴力枚举，在 $O(n \log n)$ 时间求解每项：

  for (int k = 1; k <= n; k++)
    for (int d = 1; k * d <= n; d++)
      h[k * d] += f[k] * g[d];

狄利克雷前缀和

令 $g(n) = 1(n)$，然后和 $f$ 做卷积，可以发现其实 $F(\vec{n})$ 就是 $f$ 在这个空间里的前缀和：

\[F(n) = \sum_{d\vert{}n} f(d) \cdot 1 \quad \implies \quad F(\vec{n}) = \sum_{\vec{0} \le \vec{d} \le \vec{n}} f(\vec{d}) \]

我们可以逐维度完成前缀和，逻辑和埃筛一致，故复杂度也为 $O( n \log\log n)$，代码如下：

  F = f; // 先把 f(i) 加给 F(i)
  for (int x = 2; x <= n; x++) {
    if (vis[x]) continue;      // 枚举每个质数维度
    for (int y = 1, xy = x; xy <= n; y++, xy += x) {
      vis[xy] = true;
      F[xy] += F[y];
    }
  } // 差分时记得反向枚举内层的 xy

初学的时候可能会写出 F[xy] += F[xy - x] 这种错误，只要提醒自己，我们的整数乘除才是向量上的加减法。

不妨将狄利克雷前缀和 $A_n = \sum_{d\vert{}n} a_d$ 用矩阵乘法表示：

\[\begin{bmatrix} A_1 \\ A_2 \\ A_3 \\ A_4 \\ A_5 \\ A_6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \\ a_5 \\ a_6 \end{bmatrix} \]

我们如果希望通过 $A$ 反求 $a$，就需要求上面的逆矩阵，而在“素数基”张成的空间里，逆矩阵的系数亦可以用莫比乌斯函数 $\mu$ 确定。

莫比乌斯反演 / 容斥

回忆 2D 矩阵的容斥：下标要么不变要么减一；若下标有 $c$ 个维度上有减法，系数就是 $(-1)^c$：

\[a_{x,y} = A_{x,y} - A_{x,y-1} - A_{x-1,y} + A_{x-1,y-1} \]

在素数基下，我们也可以定义一样的规则，和普通容斥无异：

若无减法，则系数为 $1$
若有 $c$ 个素数维度减一，则系数为 $(-1)^c$
如果有位置出现了 $-2$ 等其他值，系数为 $0$

我们令被减去的素数之乘积 $\prod p_i^{c_i} = n$，则可以这样定义莫比乌斯函数（容斥系数）：

\[\mu(n) = \begin{cases} 1, & n = 1, \\ (-1)^k, & n \text{ 是 } k \text{ 个不同质数的乘积}, \\ 0, & n \text{ 含有平方因子}. \\ \end{cases} \]

这样一来就可以更简洁地表达 $f$ 与其狄利克雷前缀和 $F$ 的关系：

\[\begin{align} F(n) &= \sum_{d \mid n} f(d) \\ f(n) &= \sum_{d \mid n} \mu(d) F(\frac{n}{d}) \\ \end{align} \]

这就是莫反的约数形式。只需要记住，这里的除法可以写成向量减法，上式就会非常容易理解，并且可以当场推导。
转化为矩阵语言，前一节我们想要求得的逆矩阵：第 $i$ 行、第 $d$ 列的元素在 $d \mid i$ 时为 $\mu(i/d)$，若不能整除则为 $0$。

接下来我们介绍莫反的倍数形式，这是与莫反的约数形式一样热门的形式：（TOP2 常用！）

\[\begin{align} F(n) &= \sum_{k = 1} f(kn) \\ f(n) &= \sum_{k = 1} \mu(k) F(kn) \\ \end{align} \]

即狄利克雷后缀和，以及其反演形式。求和的上界是到 $kn$ 超过定义域为止。
怎么理解 $kn$ 呢，前缀和在偏序上小于我的是做除法，那么后缀和就是乘法。

常见公式

综上，我们总结一下可以和这篇入门教程产生关联的公式，并简单推导，说明正确性。

约数个数

定义 $d(n)$ 表示 $n$ 的约数个数，是积性函数。写成前缀和就是 $d(n) = \sum_{d\vert{}n} 1$。

用素数基的看法就是从原点 $\vec{0}$ 到 $\vec{n} = (c_1, c_2, c_3, \dots)$ 构成的超长方体里，一共有多少个整数格点，故：

\[d(n) = (c_1 + 1)(c_2 + 1)(c_3 + 1)\dots \]

考虑补成乘法卷积形式 $d(n) = \sum_{d\vert{}n} 1 \cdot 1$，我们也就得到了 $d = \textbf{1} * \textbf{1}$，如何理解呢：
把 $d(n)$ 当做是对一个全 $1$ 的空间做前缀和以后在 $\vec{n}$ 处的值，可以拿 1D 数组类比一下。

莫比乌斯函数

莫比乌斯函数 $\mu(n)$ 是积性函数。莫比乌斯函数有一个非常重要的恒等性质：

\[[ n = 1 ] = \sum_{ d \mid n } \mu(d) \]

怎么理解呢，我们不妨把等式右边写成 $ \sum_{ d \mid n } \mu(d) \cdot 1$，考察其具体含义：
就是对一个全 $1$ 的空间做差分，结果只有原点 $n = 1 = (0,0,0 \dots)$ 的值是 $1$，可以拿 1D 数组类比一下。

也就是证明了 $\mu * \textbf{1} = e$，卷 $1$ 是前缀和，卷 $\mu$ 是差分，这两个操作互逆，结果是单位元 $e$。

欧拉反演

欧拉函数 $\varphi(n) = \sum_{i=1}^n [i \perp n]$ 是一个积性函数，表示 $1 \dots n$ 的数字中和 $n$ 互质的数量。

有一个常用的欧拉反演公式 $\sum_{d\vert{}n} \varphi(d) = n$，即 $\varphi$ 在高维空间中的前缀和，我们试着证明它。

由于具有积性，我们只需要单独考察一个维度 $p$ 上坐标为 $k$ 时的情形，即 $n = p^k$ 时：

\[\begin{align*} \varphi(1) &= 1 \\ \varphi(p) &= p - 1 \\ \varphi(p^2) &= p^2 - p \\ &\dots \\ \varphi(p^k) &= p^k - p^{k-1} \end{align*} \]

把它们加起来，可以发现这里相邻项都相消了，恰好得到了欧拉反演的表述：

\[\sum_{i=0}^k \varphi(p^i) = p^k \]

考虑补成乘法卷积形式 $\sum_{d\vert{}n} \varphi(d) \cdot 1= n$，我们也就得到了 $\varphi * \textbf{1} = \text{id}$。

$\varphi = \mu * \text{id}$

试证明下面的恒等式： $$\varphi(n) = \sum_{d\vert{}n} \mu(d) \frac{n}{d}$$

我们上一段说明了 $\varphi * \textbf{1} = \text{id}$，在两边同时卷上 $\mu$，有：

\[\varphi * (\textbf{1} * \mu) = \text{id} * \mu \]

我们知道卷 $\textbf{1}$ 是前缀和，而卷 $\mu$ 是差分，故 $\textbf{1}$ 和 $\mu$ 互逆：

\[\varphi = \text{id} * \mu \]

得证。

感谢阅读，请喷。

posted @ 2026-09-28 02:00 Aurora5090 阅读(35) 评论(0) 收藏举报

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反演

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高维前缀和 / 高维线性空间

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Part 2

算术基本定理 / 素数基

积性函数 / 正交分解

狄利克雷卷积 / 乘法卷积

狄利克雷前缀和

莫比乌斯反演 / 容斥

常见公式

约数个数

莫比乌斯函数

欧拉反演

\(\varphi = \mu * \text{id}\)

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