子串 DAG 的边数是 S^4/3

字符集大小不限，有 \(n\) 个 不同的 字符串 \(s_i\)，总长度为 \(S \ge n\)，你可以任意构造。

如果 \(s_u\) 是 \(s_v\) 的子串，那么连一条有向边，这样的 DAG 边数 \(E\) 是 \(O(S^{4/3})\) 的，且是紧的。

在互联网上冲浪了一会儿，没有找到在明显处提及这个结论的资料，感到非常震惊（nani）

下文无关的起因是在 2026 HDU 暑假多校 7 - A 题，发现了一份 \(O(E \sqrt S)\) 的代码，跑得飞快。

松松的

首先，容易发现 \(E\) 不会超过 \(O(S^{3/2})\)。因为长度为 \(x\) 的串，只有 \(O(x^2)\) 个子串，至多造成 \(\min(n, x^2)\) 的贡献。

我们大致让 \(\sqrt S\) 个串取到 \(\sqrt S\) 的长度，此时就分析出 \(O(S^{3/2})\) 的上界了。

但是这样分析，前面那个题的复杂度就是平方了，没道理通过，想必有蹊跷。

紧紧的

取阈值 \(B\)，称比 \(B\) 短的是小串，否则是大串，我们让 DAG 的边从大串指向小串。

对于每条边，如果指向小串，则称为短边。否则一定是大串指向大串，称为长边。

短边

对于一个串 \(s_i\)，有最多 \(B * |s_i|\) 个子串是小串，即贡献的短边数量。

对所有串的短边数量求和，得到 \(E_1 \le B * S\)。

长边

这部分数量有限，至多有 \(\frac{S}{B}\) 个大串，故内部连边的数量 \(E_2 \le \frac{S^2}{B^2}\)。

于是我们有 \(E \le BS + \frac{S^2}{B^2}\)，对任何 \(B\) 都成立。平衡得到 \(B = S^{1/3}\)，此时 \(E = O(S^{4/3})\)，得证。

所以一开始那个复杂度 \(O(E \sqrt S)\) 算出来是 \(O(S^{11/6})\)。哇!真神奇!

咔咔

只用两种字符 \(a,b\)，随机不同的串就能卡得比较满。如果不希望随机的话，可以这样生成数据：

• 1 → a
• 10 → ab
• 11 → aa
• 100 → abb

感谢 welp 同志率先提出了关于分析复杂度的讨论！学术学术！