Hall 定理

事发原因：最近和学弟随机聊天，记录一下哇，欢迎大家提出建议/指正。

众所周知 Hall 定理一般用于解决二分图完美匹配的存在性问题，实际上它还能给出匹配数，并在加强条件后得到各种变体。

Hall 定理

这个是图匹配的定理，说有一个二部图 \(G = (X,Y,E)\)，我们想知道：

  1. \(X\)-完美匹配：是否存在一个匹配，使得 \(X\) 中每个点都成为匹配点。
  2. 怎么用 Hall 定理计算最大匹配。

首先考虑解决第一个问题，我们有一个简单的观察，这个性质是必要的：

  • 我们用 \(Y(x)\) 表示左部点集 \(x\) 在右部点中的所有邻居。
  • 对于 \(X\) 的任意子集 \(x\)，必须满足 \(|Y(x)| \ge |x|\)。否则右部点不够多，肯定无法 \(X\)-完美匹配。
  • Hall 定理指出，在考察所有子集后，已经充分必要（可以归纳证明，需要一些讨论，这里略）

推论 1 如果存在 \(X\)-完美匹配，\(Y\)-完美匹配，那么存在完美匹配。
推论 2 如果存在 \(x\)-完美匹配，\(y\)-完美匹配，那么存在一个匹配，同时覆盖 \(x,y\)。
由于前者是后者的特殊情况，只需证明后者可以构造，具体方法和 Berge 引理的证明方法一样。

推论 3 正则二分图（所有点度数均为 \(k\)）必然有完美匹配。
考虑每个子集 \(x\)，向右发射 \(k|x|\) 个度数，由鸽巢原理有 \(k|x| \le k|Y(x)|\)，同时消去 \(k\) 即得证。

Hall 定理的 Deficiency 形式

对于一个不满足 Hall 条件的的子集 \(x\)，我们计算 \(d(x) = |x| - |Y(x)|\)，这表明其中 至少 有 \(d(x)\) 个点无法被匹配。

Hall 定理的 Deficiency 形式指出：

\[|X| - \text{MaxMatch} = \max_{x \subseteq X}\left(|x| - |Y(x)|\right) \]

等式左侧表示集合 \(X\) 里未能匹配的顶点数，右侧则表示最大的 Deficiency，这样移项后就能解决前文的第二个问题。
一个等价的说法是：如果最后 \(X\) 中有至少 \(d\) 个节点无法被匹配，则对于任意 \(x \subseteq X\)，都有 \(|x| \le |Y(x)| + d\)。

基本形式解决了判定性问题，而这一形式则进一步给出了具体的匹配数。

必要性：对任何子集，未匹配的点 \(\overline{x}\) 不超过 \(d\) 个，且其中匹配的点数 \(|x'| \le |Y(x)|\)，故有 \(|x| = |x'| + |\overline{x}| \le |Y(x)| + d\) 成立。
充分性：构造地，新增 \(d\) 个右部点，连向所有左部点，此时根据原始 Hall 定理必然得到一个 \(X\)-完美匹配，随后删掉与新增点的匹配。

匹配覆盖 matching covered

一张连通图是匹配覆盖的，当且仅当每条边都能属于一个完美匹配。

对于二部图，普通 Hall 定理给出了 \(\forall x \subseteq X, |Y(x)| \ge |x|\)。

实际上，我们可以证明，当 \(|X|=|Y|\) 时，强化条件 \(\forall x \subsetneq X, |Y(x)| \gt |x|\) 等价于连通二分图是匹配覆盖的。

Proof

注意如果原图不连通，那么只要分开考虑每个连通块。

充分性（强化条件 \(\implies\) 匹配覆盖）
对于任意一条边 \(e = (u, v)\) 我们在匹配中强行选择它，此时需证明去掉两个点的新图 \(G' = G - \{u,v\}\) 具有完美匹配。
不妨验证 \(G'\) 满足 Hall 定理：两部点各被删去了一个点，故每个 \(|Y(x)|\) 至多减一，于是满足。

必要性
我们需要证明对于一个匹配覆盖图，不存在一个子集 \(x\) 使得 \(|x| = |Y(x)|\)。
假设存在这样一个子集，那么 \(x\) 里的点必然要与对面的 \(Y(x)\) 一一匹配：

  • 由于原图连通，由 \(x\) 和 \(Y(x)\) 构成的导出子图必然通过至少一条边 \((u,v)\) 与外部连通。
  • 如果存在完美匹配覆盖 \((u,v)\)，那么必然导致 \(x\) 无法与 \(Y(x)\) 一一匹配。
  • 故不成立，反证完成。

广义 Hall 定理

见例题 1.

例题

25 ICPC Online 2 - C

有 \(3\) 个人 \(a,b,c\)，以及 \(7\) 类题目，分别有 \(F_a, F_b, F_{ab}, \dots F_{abc}\) 题，共 \(S\) 题。

每类题只能分给下标中的人做。每道题只能分给一个人做。

请最大化 \(\min \{ t_1,t_2,t_3 \}\) 的值，这里 \(t_i\) 表示第 \(i\) 个人的做题数。

link

Solution

我们考虑构造二分图：

  • 如果想要 \(a,b,c\) 每人至少做 \(k\) 题，可以为每人生成 \(k\) 个点，所以左侧总共有 \(3k\) 个节点。
  • 右侧是所有题目，共 \(S\) 题。
  • 如果一个题可以被某个人做，则与那个人的 \(k\) 个点连边。

问题转化成：是否存在一个能完全覆盖左侧 \(X\) 的匹配？我们考察每个子集，举部分例子：

  • 大小为 1 的 a 满足 \(k \le F_a + F_{ab} + F_{ac} + F_{abc}\)
  • 大小为 2 的 ab 满足 \(2k \le F_a + F_{ab} + F_{ac} + F_{abc} + F_{b} + F_{bc}\)
  • 大小为 3 的 abc 满足 \(3k \le S\)

这样对所有限制取最小值，就得到了最大的合法的 \(k\)。使用 Deficiency 形式可以得到一样的结果。
P.S. 其实我在赛时是按鸽巢原理做的，也有网络流等八仙过海做法。

广义霍尔定理

这个题的做法，也给出了广义霍尔定理，考虑如下二分图形式的网络流（连边没有限制）：

如果左部能满流，当且仅当对于每个子集 \(x\)，都有 \(\sum_{i \in x} a_i \le \sum_{i \in Y(x)} b_i\)

  ai     INF     bi
     x1      y1
S -> x2  --> y2  ->  T
     x3

在这道题目中，\(a_i\) 均为 \(k\)，而 \(b_i\) 是每套题的数量。对于广义定理的证明是构造的，即本题的解法。

CF1009G Allowed Letters

字符集大小 \(|\sum|\) 为 \(6\)，给定了一个长度为 \(n \le 10^5\) 的字符串 \(S\)。

部分下标被限制了只能放某些字符。你需要重排这个字符串，使其字典序最小，或者报告无解。

link

首先有一个很暴力的 \(O(6n \cdot n \sqrt n)\) 做法，每次尝试贪心放一个字符，然后用 HK 或 Dinic 跑最大匹配，看剩下来的情况是否合法。

不过由于字符集很小，我们可以转为使用广义 Hall 定理判断：

  • 左部点为 6 种字符，流量为剩余可使用的数量。
  • 右部点为每个位置，向可使用的字符连边，流量为 1。

预处理后缀的右部点情况，每次枚举左部子集即可判断是否合法。复杂度为 \(O(6n \cdot 2^6 )\)，可以通过。

判断 matching covered

给定一张二分图，无重边，保证连通，判断它是否是匹配覆盖的，\(n \le 10^5\)。

如果没有完美匹配，那么输出 No。
否则可以用 HK / Dinic 在 \(O(n \sqrt n)\) 时间内求出一个完美匹配，我们建立新图 \(G\)：

  • 原图上在完美匹配中的边 (x, y)，连 \(x \to y\)；
  • 原图上不在完美匹配中的边，连 \(y \to x\)。

如果该图 \(G\) 只有一个强连通分量，那么输出 Yes，否则输出 No。

Lemma 1: 两个完美匹配的对称差（\(M \oplus M'\)）必然由若干个交错环组成（因为度数只能是 0 或 2）。
因此边 \(e\) 属于某个完美匹配，等价于它在有向图 \(G\) 中属于某个有向环。

Lemma 2：二分图上的环均为偶环（显然耶）。
因此图 \(G\) 可以被分解成若干个偶环的并，每条边都能被有向环覆盖，证明了这张图必然是一个 SCC。

Latin Rectangles

对于 \(r \times n\) 的矩阵（\(r \lt n\)），规定只能填入 \(1 \sim n\) 的元素，且每行、每列都不能出现重复数字。

试证明总是可以新增一行，扩展为 \(r+1\) 行（\(r + 1 \le n\)）。

左部点代表每列，右部点为每个数字，如果两者不冲突，则连一条边。

由于已经放了 \(r\) 行，故左部点每个点度数为 \(n-r\)，而每个数字也只有 \(n-r\) 列可放。

故这样的二分图总是正则图，根据前文的推论 3，必然具有完美匹配。

[CERC2016] Bipartite Blanket

给定一个左右各有 \(n,m\) 个点（\(n,m \le 20\)）的二分图，每个点都有一个权值。一个顶点集合是合法的，当且仅当满足两个条件：

  1. 这个顶点集合的总权值大于等于常数 \(t\)。
  2. 这个顶点集合能被某一个匹配完全覆盖。

需要统计有多少合法的集合。

link

根据 Hall 定理，我们可以在 \(O(2^n)\) 里简单枚举 \(x \subseteq X\)，来判断 \(X\) 是否具有 \(X\)-完美匹配。

但如果需要对每个 \(x \subset X\) 的导出子图都求解呢？直接枚举子集是 \(O(n 3^n)\)，而使用高维前缀和可以做到 \(O(n 2^n)\)。

int f[1 << n]; // 提前暴力枚举，求出每个集合 x 本身是否满足
for (int i = 0; i < (1 << n); i++) {
  for (int j = 0; j < n; j++) {
    if (i & (1 << j)) f[i] &= f[i ^ (1 << j)];
  }
}

我们对两侧的集合分别求出合法的 \(f,g\)，并记录每个子集的价值，随后对价值排序。

那么对于一个 \(f\)，使得总价值超过 \(t\) 的 \(g\) 一定是一个后缀，可以单调指针求解 \(O(n2^n + m2^m)\)。

这里的正确性使用了之前的推论 2，也就是说如果两侧的子集 \(x,y\) 分别合法，那么一定存在一个匹配同时覆盖它们。

参考资料

posted @ 2026-09-09 15:14  Aurora5090  阅读(26)  评论(0)    收藏  举报