物理与数字世界的桥梁之数字信号处理DSP：基于FPGA

基于FPGA的数字信号处理

简介：如何在FPGA上实现数字信号处理，以Xilinxi高端FPGA作为开发平台

FPGA简介（其实是详细介绍）

https://www.cnblogs.com/asandstar/p/17282136.html

数字信号处理研究的内容

关注要点：信号及其所包含信息的表示、变换和运算
eg.①分开两个或多个混迭在一起的信号
②增强某些信号分量或一个信号模型中的某些参量
DSP综合定义：
利用计算机或专用处理设备，以数值计算的方法对信号进行采集、变换、综合、估值与识别等加工处理，借以达到提取信息和便于应用的目的。
信号用有限精度的数的序列来表示，而后用数字运算方式来处理。
基本对象：样本序列
包含的内容：采样、滤波、变换、检测、谱分析、估计、压缩及识别
基础：采样定理（低通采样定理和带通采样定理），提供了使模拟信号转换为数字信号而不失真的依据。
最普遍、重要的两种处理方式：数字滤波和离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）。
数字信号处理系统→实现各种数字信号处理算法。
应用范围：通信、图像处理、ic验证、高频交易、云计算、DSA加速器、仪表与控制、语音/音频、军事、生物医学和消费类应用等。
作为工具，FPGA本身并没有什么新奇的。要通过方向+FPGA产生价值。

DSP系统架构

DSP系统优点：体积小、功耗小、精度高、可靠性高、灵活性大、易于大规模集成及可进行二维与多维处理等优势。
DSP缺点：①模拟信号到数字信号的转换需要选择合适的采样频率和量化精度。故进行数字处理时，必须考虑有限字长效应。
②有充分速率执行信号处理任务的场合，优先考虑使用数字电路。
连续时间的模拟信号经过抗混迭滤波器输出带限信号，以保证A/D转换器采样频率满足采样定理的要求。
A/D转换器输出的数字信号传送给DSP芯片处理并将处理结果传送给D/A转换器，以模拟形式输出。
数字信号处理系统要以对模拟信号采样的同一速率来完成处理。
A/D转换器工艺和技术发展→能提供的采样频率越来越高
→数字信号处理越来越靠近前端，由常规的基带处理跨越到直接中频处理
→对DSP芯片的实时处理能力提出了越来越高的要求
系统性能：系统速度、系统带宽、系统功耗及系统资源等
性能取决因素：采样频率（Frequency）、架构（Architec-ture）和字长（Wordlength）
处理单元：指令集处理单元、硬连线结构处理单元和可重构处理单元。
①指令集处理单元：微处理器单元（Mirco-Processor Unit，MPU）和通用或专用DSP处理器。
a.通用DSP处理器：基于CPU架构，采用顺序的工作模式，通过软件指令的方式完成数字信号处理算法。有适用于各种数字信号处理算法实现的通用硬件架构。
优点：通用性和灵活性。
缺点：算术逻辑单元（Arith Logic Unit，ALU）数量上的缺陷导致其并行处理能力大打折扣。
b.硬连线结构处理单元：ASIC（针对完成某种特定数字信号处理算法的集成电路器件）

 

 

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7-2-1第7讲 离散时间信号的傅里叶变换（2）_哔哩哔哩_bilibili

学习方法

1)勤
告诉我，我会忘记：给我看，我会记住：让我做，我会明白
预习、复习、练习、仿真、编程实现

2)变
转变观念，多问为什么，多想物理意义。不要背东西

1 绪论：DSP概述

①DSP定义：用数字或符号序列来表示信号以及对这些序列作处理的一门学科。对含有信息的信号进行处理，以得取人们所希里得到的信息

②DSP领域组成

1)信号的采集（A/D、抽样定理、多抽样率、量化噪声分析等）
A/D:采样位数（根据系统要求的动态范围）、速率等要素。
A/D位数增加一位，动态范围增加6dB。

 上图左边6位，右边16位

抽样定理：过采样（Nyquist采样）、欠采样（带通采样）【详见通信原理】

新技术——利用信号稀疏特性、压缩感知原理，采样速率与信号带宽无关，仅取决与信号中信息的结构和内容

多抽样率：A/D之后：降采样（去掉冗余数据，减少运算量）
升采样（增加采样点酸即数字上变频）
分数倍采样（为信号后续处理准备）

2)离散时间信号分析（时域及频域的分析、各种变换技术）
3)离散时间线性非时变(LTI:Linear time-invariant)系统
因果稳定$h ( n ) , H (z) , H(e^{j\omega}) $

4)信号处理中的快速的法：1、卷积与相关等
5)滤波技术：R、数字滤波器的设计及实现
6)信号处理中的特殊算法：抽取、插值、反卷积、信号重建等
【研究生难度↓】
7)信号的估值：各种估值理论、相关函做与功率谱估计等
8)信号的建模：最常用的有AR、MA、ARMA和ARIMA各种模型
))非平稳信号的变换：分数阶傅里叶变换、短时傅里叶变换，Wigner分布、小波变换等

AR、MA、ARMA和ARIMA模型------时间序列预测_ma模型的预测-CSDN博客

3,DSP系统的优点
1)精度高
2)稳定性高
3)灵活性高
4)便于大规模集成
5)便于时分复用
6)可以实现模拟系统无法实现的功能
7)二维与多维处理

2 离散时间信号与系统的时域分析

信号

t	幅度x(t)
连续（采样后离散化↓）	连续	模拟信号或连续时间信号
离散	连续（量化后离散化↓）	离散时间信号
离散	离散	数字信号

A/D采样后得到数字信号，量化带来的是数字误差。（有限字长）

一般周期、随机信号是功率信号$P = \lim _ { T \rightarrow \infty} \frac { 1 } { T } \int _ { - T / 2 } ^ { + T / 2 } | x ( t ) | ^ { 2 } d t $，$P = \lim _ { N \rightarrow \infty } \frac { 1 } { 2 N + 1 } \sum _ { n = N } ^ { N } | x ( n ) | ^ { 2 } $，而有限长信号是能量信号$E = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } | x ( t ) | ^ { 2 } d t $，$E = \sum _ { n = \infty } ^ { + \infty } | x ( n ) | ^ { 2 } $。

模拟信号$x_a(t)$采样间隔为T，则时域离散信号$x(n)=x_a(t)$，n为正整数

基本序列

1)单位脉冲序列

$\delta (t)$和$\delta (n)$的区别

$$n=0, \delta (n) = 1 $$	$$\Delta n ,\delta (n) = 0 $$ 非整数n无定义	物理可实现
$$t=0, \delta (t) = \infin$$	$$t \neq 0, \delta (t) = 0 $$	数学上的极限，物理不可实现

2）单位阶跃序列

$u(n)= \sum _{i=0}^{\infin}\delta(n-i)$

$\delta ( n ) = n ( n ) - n ( n - 1 ) $

$u ( n ) = \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } \delta ( n - i ) $

3）矩形序列RN(n)

$R_{N}(n)=1 0 \sin s N - 1 $

$R_{N}(n)=u(n)-u(n-N)$

4）实指数序列

$x ( n ) = a ^ { n }u ( n ), |a|<1 $收敛，$|a|>1$发散

5）正弦序列
$x(n)= \sin(\omega n)= \sin(2 \pi fn)$

模拟$x_{a}(t)= \sin(\Omega _{0}t)= \sin(2 \pi f_{0}t)$

$x(n)=x_{a}(nT)= \sin(\Omega _{0}nT)= \sin(\omega m)$

$\omega =\Omega_0 T=\frac{\Omega_0}{F_s} = 2 \pi f_s$数字角频率，单位弧度（模拟角频率单位弧度每秒

$ f=\frac{f_{0}}{F_{s}}$数字频率，无单位（模拟频率单位赫兹

$\omega = \Omega T$

$T$：采样周期，$F_s=\frac{1}{T}$：采样频率

6）单位复指数序列

$x(n)=e^{j \omega _{0}n}= cos(\omega _{0}n)+j sin(\omega _{0}n)$

任意序列$x(n)= \sum _{m= \infty}^{+ \infty}x(m)\delta(n-m)$ 【用加权延时单位脉冲序列的线性组合表示】

周期序列$x ( n ) = x ( n + N ) $，N为整数

$\tilde{x}(n)= \sin(\frac{3 \pi}{8}n)$求周期：$\frac{3 \pi}{8}(n+N)= \frac{3 \pi}{8}n+2k\pi$最小周期N=16，k=3

 $\omega_{0}= \frac{3 \pi}{8}= \Omega _{0}T=2 \pi T/T_{0}\therefore 16T=3T_{0}$

正弦序列$x(n)= \sin(\omega _{0}n)$

(1)当2π/w0=m,m为整数时，周期N=m,k=1
(2)当2π/w0=有理数=P/Q，P、Q是互为素数的整数，周期N=P,k=Q
(3)当2π/w0=无理数时，任何k都不能使N为正整数，此时正弦序列为非周期序列
N=(2π/w0)k

$x(n)$有限长，$\tilde{x}(n)= \left\{ \tilde{x}(0), \tilde{x}(1), \cdots \tilde{x}(N-1)\right\}$周期

$\tilde{x}(n)=x((n))_{N}$，以N为模的n的余数$((16))_5=1 ,((-1))_5=4$

$n \geq 0,n=mN+P,0 \leq P \leq N-1, x((n))_{N}=P$

$n \leq 0, ((n))_{N}=N-((|n|))_{N}$

$N=5, \tilde{x}(8)=x((8))_{N}= \tilde{x}(3)$

周期延拓的方法就是平移法。延拓周期大于N时，可恢复$x ( n ) = \overline { x } ( n ) R _ { N } ( n ) $，延拓周期小于N时，不可恢复$x ( n ) \neq \overline { x } ( n ) R _ { N } ( n ) $

$LTI ( linear time-invariant )$

$1. T[ax_{1}(n)+bx_{2}(n)]=aT[x_{1}(n)]+bT[x_{2}(n)] =ay_{1}(n)+by_{2}(n)$线性

$2.y(n-m)=T[x(n-m)]$时不变

$y ( n ) = x ( - n ) $

$y(n-n_{0})=x \left[ -(n-n_{0})\right] =x(-n+n_{0})$先变换后移位

$T[x(n-n_0)] = x ( - n - n _ { 0 } ) $先移位后变换

LTI输入输出关系

时域特性：单位脉冲响应$h( n ) - T[ (n) ] $

模拟	$\delta (t)$	零状态响应	h(t)
离散	$\delta (n)$	零状态响应	h(n)

卷积$y(n)= \sum _{n=-\infty}^{\infty}x(m)h(n-m)=x(n)*h(n)$

基本运算

$x(n)*h(n)=h(n)*x(n)$

$x(n)* \left[ h_{1}(n)*h_{2}(n)\right] - \left[ x(n)*h_{1}(n)\right] =h_{2}(n)$

$x(n)* \left[ h_{1}(n)+h_{2}(n)\right] -x(n)=h_{1}(n)+x(n)=h_{2}(n)$

$x(n)* \delta(n)=x(n),x(n)* \delta(n-m)x(n-m)$

系统的因果和稳定性

1.因果Causality：$h( n ) = 0 ,n < 0 $

2.稳定Stability：输入有界→输出有界，充要$\sum_{n=- \infty}^{+ \infty}|h(n)|<\infty$

$y ( n ) = e ^ { x ( n ) } $，判断其稳定性和因果性

啊啊啊它不是线性时不变系统，用输入有界输出有界判断稳定性

y(n)只与x(n)有关，系统是因果的
若|x(n)|≤B,则|y(n)|≤e^B，系统是稳定的

 

线性常系数差分方程(Linear constant-coefficient difference equation)

差分方程的阶数=输出序列y(n)移位的最高值和最低值之差，如上述差分方程的阶数为N

线性→在差分方程中只含有输入，输出序列的一次项，不含有高次项及交叉乘积项。否则为非线性方程

$y(n)= \sum _{i=0}^{M}b_{i}x(n-i)- \sum _{i=1}^{N}a_{i}y(n-i)  N \geq M$

1 经典解法（与微分方程解法类似）
2 递推解法
3 Z变换法

目的：

1.由差分方程得到系统实现结构
2.求解系统的瞬态响应

对于同一个差分方程和同一个输入序列，由于初始条件不同，其解也不同
如果初始条件不定，差分方程的解也不定

常系数线性差分方程，并不一定代表线性系统，也不一定代表时不变系统。

边界条件决定了常系数差分方程和线性时不变系统之间的对应关系。

例题

1 $y(n)-ay(n-1)=x(n)，y(0)=1$

设$x_{1}(n)= \delta(n)，y_{1}(0)=1$

由递推$y_{1}(n)=a^{n}u(n)$

$x_{2}(n)= \delta(n-1)，y_{2}(0)=1$

$y_{2}(n)=a^{n}u(n)+a^{n-1}u(n-1)$

$x_{3}(n)=x_{1}(n)+x_{2}(n)，y_{3}(0)=1$

$y_{3}(n)=a^{n}u(n)+a^{n-1}u(n-1)$

$\because x_{3}(n)=x_{1}(n)+x_{2}(n)  y_{3}(n)\neq y_{1}(n)+y_{2}(n)$非线性

$\because x_{2}(n)=x_{1}(n-1)y_{2}(n)\neq y_{1}(n-1)$时变

2 $y(n)-ay(n-1)=x(n)y(0)=0$

$y(n)= \sum _{i=1}^{n}a^{n-i}x(i)u(n-1)$

$x(n)=ax_{1}(n)+bx_{2}(n)$

$y(n)= \sum _{i=1}^{n}a^{n-1}\left[ ax_{1}(i)+bx_{2}(i)\right] u(n-1)$

$= a y _ { 1 } ( n ) + b y _ { 2 } ( n ) $线性

$\because y(n-n_{0})= \sum _{i=1}^{n-n_{n}}a^{n-n_{n}-1}x(i)u(n-n_{0}-1)$

$T \left[ x(n-n_{0})\right] = \sum _{i=1}^{n}a^{n-1}x(i-n_{0})u(n-1)$

$= \sum _{i=1-n_0}^{n-n_{0}}a^{n-n_{0}-i}x(i)u(n-1)$

$= \sum _{i=1-n_0}^{-1}a^{n-n_{0}-i}x(i)u(n-1)+\sum _{i=0}^{n-n_{0}}a^{n-n_{0}-i}x(i)u(n-1)$

$=\sum _{i=0}^{n-n_{0}}a^{n-n_{0}-i}x(i)u(n-1)$

$\neq y ( n - n _ { 0 } ) $时变

离散时间系统的差分方程，满什么条件时，该系统是线性时不变的？

当边界条件为y(-1)=0时，系统才是线性时不变系统

任何周期函数在满足狄义赫利的条件下，可以展成正交函数线性组合的无穷级数。

Dirichlet条件
1)在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限的。
2)在一周期内，极大值、极小值应是有限个。
3)在一周期内，信号是绝对可积的，即$\int _ {t_0} ^ {t_0+T} | f ( t ) |dt$为有限值。