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摘要： 考虑 \(n = p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}~(p_1 < p_2 < \cdots < p_k)\)，由于除自身外还有 \(3\) 个因子，故满足 \(\alpha_1 \ge 2\) 或 \(k \ge 2\)。 考虑最大的 阅读全文

摘要： 注意到 \(2025 = 45 \times 45\)，我们考虑能不能按根号分块，我们呈阶梯状摆放，在 \((\sqrt{n}, \, 1), \, (2\sqrt{n}, \, 2), \, \cdots, \, (n, \, \sqrt{n})\) 的位置放上一个空，接下来向上每一层将 \(x\ 阅读全文

摘要： 考虑 \(n = 3\) 时的下三角，显然有三个容易构造的解，\(k = \{0, \, 1, \, 3\}\)，构造如下： 那么 \(n > 3\) 呢？由于下三角的点数恰好为 \(1 + 2 + \cdots + n\) 个点，对于第一条直线，有且仅有 \(3\) 中方式覆盖 \(n\) 个点， 阅读全文

摘要： 题目连接 考虑题目所提到的 Bingo 数 \(k\) 满足： 对于所有行，满足 \(\max\limits_{x \in row}\{x\} \le k\) 对于所有列，满足 \(\max\limits_{y \in col}\{y\} \le k\) 显然必然存在一个数恰好是 Bingo 数且满 阅读全文

摘要： C2. Maple and Tree Beauty (Hard Version) This is the hard version of the problem. The difference between the versions is that in this version, the con 阅读全文

摘要： #6053. 简单的函数 某一天，你发现了一个神奇的函数 \(f(x)\)，它满足很多神奇的性质： \(f(1)=1\)。 \(f(p^c)=p \oplus c\)（\(p\) 为质数，\(\oplus\) 表示异或）。 \(f(ab)=f(a)f(b)\)（\(a\) 与 \(b\) 互质）。 阅读全文

摘要： 题面 题解 这个题显然不是让你直接去干，所以我们尝试分讨来慢慢找规律。 \(3\) 个点以下的时候，显然无解，欧氏空间不存在三个直角的等边三角形，也不存在全是直角的线段。 \(4\) 个点的时候，正方形是最显然的解。这个解是唯一的，具体可以考虑构造一个直角，边上的两个点必然需要在其垂平面内寻找下一个 阅读全文

摘要： 若 \(n = p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_r^{k_r}\)，则有 \(f(n) = k_1^{p_1}k_2^{p_2}\cdots k_r^{p_r}\). 求 \(\sum\limits_{i = 1}^{n} f(n)\).（\(n \le 10^{13}\)） 阅读全文

摘要： 有标号无向连通图计数 设 \(f_n\) 表示大小为 \(n\) 的 有标号无向连通图 方案数，\(g_n\) 表示大小为 \(n\) 的 有标号无向图 方案数，显然有 \(g_n = 2^{\binom{n}{2}}\)，通过钦定 \(1\) 号节点所在联通块的大小为 \(i\)，它们之间具有关系 阅读全文

摘要： 首先，Farey 数列 \(F_n\) 表示分母不超过 \(n\) 的所有既约真分数按大小顺序排列的集合，形式化来说 \[F_n = \left\{\frac{p}{q} \bigg\vert 0 < p < q \le n, \, \gcd(p, q) = 1\right\} \]这个数列的渐进大 阅读全文