合集-算法理论
摘要：维护连通性 对一个森林，进行连边，删边操作（保证任何时候整个图是一个森林）和查询两个点是否连通。 做法 连边/删边是基础操作。 LCT 可以查找某个点 \(u\) 所在的树的树根，具体方法是，对 \(u\) access 再 splay，此时 \(u\) 和根在同一个 Splay 内，那么这个 Sp
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摘要：数学基础 相关符号 多项式系数提取符号 \([x^i]f(x)\) 表示多项式 \(f(x)\) 中 \(x^i\) 前的系数。 艾弗森括号 \([P]=\begin{cases}1, P \text{为真}\\0, P\text{为假}\end{cases}\) 求积符号 \(\prod_{i=1
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摘要：前置知识： OI中的群论初步 线段树 幺半群 对于集合 \(G\) 和二元运算 \(*\)，如果满足如下条件，则称二元组 \((G, *)\) 是幺半群： \(\forall g_1, g_2\in G, g_1*g_2\text{有定义并且} g_1*g_2\in G\)（封闭性） \(\exis
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摘要：前言：方括号表示艾弗森括号，括号中的命题为真则值为 \(1\)，否则是 \(0\)。（例如 \([1\leq 2]=1, [2<2]=0\)） 数列幂级数 考虑有 \(n\) 个集合 \(S_1, S_2, ......, S_n\)，设 \(U=S_1\times S_2\times ......
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摘要：莫比乌斯反演 核心公式:\(\mu*1 = \varepsilon\) 即 \(\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]\)。 证明：\(n>1\) 时，从 \(n\) 的所有素因数中选出奇数个的方案和选出偶数个的方案相等，\(-1\) 和 \(1\) 抵消。\(n=1\) 时显然。 常用于如下
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摘要：引入 设 \([n]=\{1, 2, ......, n\}\)。 设 \(n\) 是正整数，\(P\) 是符合某性质的元素的集合。 考虑集合 \(S_k=\{(a_1, a_2, ..., a_n)|\text{恰好有}k\text{个}a_i\in P\}\) 和集合 \(T_k=\{((a_1
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摘要：有时候我们会遇到一些提供复杂的操作的题目，这类题目的一个想法是寻找变化中更可控更有规律的特征变化。具体来说，使用特征信息去刻画原本的信息，使得复杂的操作对应到特征信息的变化是有规律的，有性质的。 为了寻找到合适的特征值，一个值得尝试的办法是考虑原操作在简化情况下的影响，在简化情况下构造特征变化，然后
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摘要：信息量 考虑在交互过程中获取的信息量，如果信息量小于状态量，那么必然无法确定唯一的状态，此时可以尝试增加信息量或考虑能否在不确定明确的状态的前提下完成要求。 归纳确定 类似于数学归纳法，分两类： 化归确定：设法确定一些信息，从而化归为更小规模的问题。 范例：要求给一个排列排序，进行的操作为：1.交换
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摘要：约定 以下的 \(n, k\) 都是整数。 \[\forall n\geq 0,\dbinom{n}{0}=1 \]\[\forall n<k, \dbinom{n}{k}=0 \]\[\forall k<0, \dbinom{n}{k}=0 \]基础恒等式 对称性:\(\dbinom{n}{k}=
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摘要：前置知识 扩展莫比乌斯反演公式 如果 \(f(x)\) 是一个积性函数，那么 \[\sum_{d|n}\mu(d)f(d)=\prod_{p|n, p \text{ is prime}}(1-f(p)) \]证明比较显然，将右侧的所有括号展开即可。 它是莫比乌斯反演公式的推广，当取 \(f(x)=1
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