浅谈一类使用特征变化刻画复杂变化的方法

有时候我们会遇到一些提供复杂的操作的题目，这类题目的一个想法是寻找变化中更可控更有规律的特征变化。具体来说，使用特征信息去刻画原本的信息，使得复杂的操作对应到特征信息的变化是有规律的，有性质的。

为了寻找到合适的特征值，一个值得尝试的办法是考虑原操作在简化情况下的影响，在简化情况下构造特征变化，然后尝试推广到普遍情况。

然后我们看一些例题来感受一下这个方法：

• [ARC189B] Minimize Sum

• [AGC052B] Tree Edges XOR（本题详细解析可以见我的博客）

• 自编题：给定数列 \(a_1, a_2, ......, a_n\) 和正整数 \(k\)，你可以进行若干次操作，每次操作选定一个数 \(i\)，然后对于所有 \(j\geq i, a_j\leftarrow ((a_j+\binom{j-i+k}{k})\mod 998244353)\)。求进行任意多次操作后 \(\sum_{i=1}^na_i\) 的最小值以及为了使它取到最小值，最少需要多少次操作。\(n\leq 10^5, 1\leq a_i, k<998244352\)。时间限制 \(2s\)。

自编题解法：组合数操作非常难，虽然题目规定 \(k\geq 1\)，但是仍然可以考虑 \(k=0\) 的情况，发现此时效果相当于一次后缀加操作，那么一个合理的设计特征值的方法是考虑这个数列的差分数组，一次后缀加操作相当于让差分数组中某一项加一。因此 \(k=0\) 的情况的讨论给予我们两个启发：

• 答案很有可能就是 \(0\)。
• 考虑将差分数组作为特征值。
  考虑 \(k>0\)，此时使用一阶差分就不再奏效，但是可以推广到求原数组的 \(k+1\) 阶差分数组 \(d\)。原操作等价于将 \(d\) 中的某一个数加一，而为了让 \(\sum_{i=1}^na_i\) 最小，只需要让 \(d\) 数组都是 \(0\) 即可。因此可以对每一个 \(d_i\)，都对它执行 \(998244353-d_i\) 次操作。

为了求 \(k+1\) 阶差分数组，只需写一个 NTT，模数刚好是 \(998244353\)。